Перспектива и проективная геометрия
жүктеу/скачать 0,73 Mb.
|
Перспектива и проективная геометрия
Полюс и поляраРассмотрев точки, гармонически сопряженные относительно концов диаметра, естественно попытаться рассмотреть точки, гармонически сопряженные относительно концов произвольной хорды. Возьмем произвольную точку А внутри или снаружи окружности и проведем через нее все прямые, пересекающие окружность. Будем для каждой хорды МР строить точку В так, чтобы точки АВ,МР образовали гармоническую четверку. Докажем, что геометрическое место точек В является некоторой прямой. Эта прямая называется полярой точки А. Для доказательства рассмотрим два случая: 1) точка А расположена вне окружности, 2) точка А расположена внутри окружности. Интересно, что несмотря на различия между чертежами, текст доказательства практически не меняется. Проведем через точку А диаметр и построим точку С, которая вместе с точкой А гармонически разделяет концы диаметра. Проведем через точку С перпендикуляр р к диаметру и покажем, что любая прямая, проходящая через точку А, пересекает этот перпендикуляр в такой точке В, а окружность в таких точках М, Р, что АВ,МР – гармоническая четверка. По предыдущей задаче прямые МС и МА пересекают окружность в точках D и Р, симметричных относительно диаметра. Отсюда следует, что прямая СА является биссектрисой угла С в треугольнике МРС. В случае (1) – это внешний угол, в случае (2) – внутренний. Прямая р, перпендикулярная диаметру, является биссектрисой смежного угла. Биссектрисы СА и СВ пересекают основание треугольника СМР в точках А и В, следовательно, АВ, МР – гармоническая четверка. Прямая р называется полярой точки А. Точка А называется полюсом прямой р. Если полюс лежит внутри окружности, то поляра не пересекает окружность, если полюс лежит вне окружности, то поляра пересекает окружность. Легко видеть, что если точка А лежит на окружности, то ее полярой будет касательная в точке А. Полярой центра окружности служит бесконечно удаленная прямая. Если поляра проходит через центр, то ее полюс – бесконечно удаленная точка. На первый взгляд между чертежами (1) и (2) есть существенное различие. На чертеже (2) любая точка В прямой р обладает тем свойством, что пара точек АВ гармонически разделяется концами хорды МР. На чертеже (1) это верно только для тех точек прямой р, которые лежат внутри окружности. Для других точек прямой р окружность и прямая АВ вообще не пересекаются, и точки М и Р отсутствуют. С точки зрения классической (школьной) геометрии естественно считать, что в случае (1) искомым геометрическим местом точек служит отрезок прямой р, находящийся внутри окружности, а в случае (2) – вся прямая р. Однако, мы будем считать, что и в том и другом случае полярой точки А является вся прямая р. К сожалению, оправдать эту точку зрения можно, только рассмотрев точки с комплексными координатами, что явно не удастся сделать в пределах статьи. (Для этого лучше написать учебник.) Поскольку точки, симметричные относительно окружности, можно построить, проводя касательные, то касательные и поляры оказываются тесно связаны. В частности, если полюс лежит вне окружности, то для построения поляры достаточно провести пару касательных из полюса. Полярой будет прямая, проходящая через точки касания. жүктеу/скачать 0,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|