Первый тур дистанционного этапа
жүктеу/скачать 23,2 Kb.
|
1 2
Байланысты:Disttur3 20 sol (1)
|
Третий тур дистанционного этапа XIII олимпиады имени Леонарда Эйлера Решения задач 1. Велосипедисты Андрей, Борис и Виктор одновременно, из одной точки и в одном направлении стартовали по кольцевой дороге. Каждый из них ехал с постоянной скоростью, причем у разных велосипедистов скорости были различными. Андрей впервые перегнал Бориса, проехав ровно четыре круга, а Виктора — проехав ровно пять кругов. Сколько кругов проехал Виктор к моменту, когда он впервые обогнал Бориса? (Фольклор) Ответ. 16. Решение. Пусть Андрей едет со скоростью 20v. В момент, когда он, проехав 4 круга, впервые перегнал Бориса, тот проехал 3 круга. Поэтому скорость Бориса составляет 3/4 скорости Андрея, то есть 15v. В момент, когда Андрей, проехав 5 кругов, впервые перегнал Виктора, тот проехал 4 круга. Поэтому скорость Виктора равна 4/5 скорости Андрея, то есть 16v. Таким образом, скорость Бориса составляет 15/16 от скорости Виктора, и потому Виктор впервые обгонит Бориса, проехав 16 кругов (Виктор к этому моменту проедет 15 кругов). 2. Графики функций y = k1x+b1, y = k2x+b2, y = k3x+b3 являются продолжениями сторон равностороннего треугольника. Докажите, что среди чисел k1, k2, k3 есть такое, которое не меньше 1/2. (И. Рубанов) Решение. Проведем через начало координат параллельные сторонам нашего равностороннего треугольника прямые y = k1x, y = k2x, y = k3x. Они поделят полный угол на углы по 60, и потому хотя бы одна из них проходит через первую четверть. Если она образует с осью абсцисс угол, не меньший 30, то ее коэффициент ki не меньше 1/2. В противном случае следующая против часовой стрелки прямая тоже проходит через первую четверть и образует с осью абсцисс угол, не меньший 30 (и даже 60°) так что подойдет она. 3. Игорь нарисовал на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см архипелаг, в котором каждый остров имеет форму многоугольника, составленного из клеток, и разные острова не имеют общих точек. Может ли отношение суммарной длины береговой линии всех островов к их суммарной площади равняться: жүктеу/скачать 23,2 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2