Плоское напряжение. Конститутивные уравнения
Двумерные преобразования вокруг оси
жүктеу/скачать 2,18 Mb.
|
Shmanatova A D Mekhanika MTMbd-21
- Бұл бет үшін навигация:
- 4.3.1 Отношения напряжение-деформация пластинки в глобальных координатах
| 4.3 Двумерные преобразования вокруг оси
Уравнения двумерного преобразования для вращения вокруг оси 3 (z) (рис. 4.1) просты. Упрощения трехмерных уравнений C.44) и C.46). Используем [Тг] в качестве матрицы преобразования для напряжения (тензор второго порядка) и [T2] для преобразования деформации, где мы используем инженерная деформация сдвига, а не тензорная деформация сдвига. Таким образом, (4.23) (4.24) где для задач плоского напряжения с m = cos 8 и n = sin 9 (4.25);(4.26) Обратите внимание, что, как и в трехмерном случае главы 3, [ГДв)] = [ГД-О)] и [Т2 (в)] ~ 1 = [Г2 (-в)]. В доказательство оставлено как упражнение. Комбинируя (4.23) и (4.25), напряжения в основных координатах материала равны (4.27) 4.3.1 Отношения напряжение-деформация пластинки в глобальных координатах Основное уравнение плоского напряжения в главных координатах материала (4.11) имеет вид (4.28) Комбинируя это с уравнениями преобразования (4.23) и (4.24), мы имеем (4.29) или (4.30) Теперь мы определяем матрицу приведенной жесткости, преобразованную в плоское напряжение [?>]: (4.31) Тогда составляющее уравнение плоского напряжения в произвольной системе координат x-y записывается (4.32) или (4.33) Отдельные члены в Гр преобразованной матрицы приведенной жесткости (4.31) равны (4.34) Как и в трехмерном случае, приведенные коэффициенты жесткости имеют четвертый порядок по синусу и косметические функции. Отметим, что [Q] является симметричным и, в общем, полностью заполнено ненулевыми. Коэффициенты Q16 и Q26. Коэффициенты Gi6 и G26 очень важны, поскольку они определяют связь между нормальным и сдвигающим откликами в плоскости. Эти два коэффициента идентичны ноль для изотропных материалов и для ортотропных материалов в основных координатах материала. Следовательно, в этих случаях нет связи между сдвигом и нормальным откликом. Наличие или отсутствие связи нормального сдвига показано на рис. 4.3. Эти фигуры показаны недеформированные и деформированные формы прямоугольного элемента, подвергнутого чистому растяжению. стресс. Для изотропных и ортотропных материалов, нагруженных в основных направлениях материала, нет искажения исходного прямого угла (т.е. отсутствие связи нормального сдвига); однако для однонаправленная внеосевая пластинка (моноклинный материал в глобальной системе координат), связь явно демонстрируется через искажение оригинального прямого угла. Конструктивное уравнение преобразованного плоского напряжения (4.32) можно инвертировать, чтобы получить (4.35) где преобразованная податливость, [S], является обратной величиной преобразованной приведенной жесткости, т. е. (4.36) В развернутом виде (с использованием (4.31)) это можно записать (4.37) Явными выражениями для членов Sy как функций Sy и ориентации слоя в являются те же, что приведены в C.69) - C.81) для i, j = 1, 2 и 6. Они переписаны здесь для удобства: (4.38 - 4.43) Эти уравнения также могут быть выражены в терминах технических констант материала с использованием (4.14) и (4.15). Результаты: (4.44 - 4.49) Таким образом, двумерные определяющие уравнения для ортотопического материала в произвольном наборе ортогональные декартовы координаты можно записать в виде (4.50) (4.51) и (4.52) (4.53) Уравнения (4.51) и (4.53) ясно показывают связь между нормальной реакцией и реакцией на сдвиг со стороны наличие ненулевых коэффициентов жесткости и податливости 16 и 26. Прежде чем покинуть эту тему, отметим, что одни и те же обозначения используются для соответствий StJ и Sij в 2-х и 3-х измерениях. Это потому, что соответствующие члены идентичны, в отличие от жесткости коэффициенты, которые различны в 2-D и 3-D. Значения жесткости различаются, поскольку обратная матрица податливости 3 x 3 для плоского напряжения отличается от обратной матрицы 6 x 6 для трехмерного анализа. жүктеу/скачать 2,18 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|