анықталмаған коэффициенттер әдісі

Теңдіктің оң жағын бір бӛлшекке келтіріп, содан соң екі бӛлшектің алымдарын 
теңестірейік: 
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
1
2
2
2
2











x
x
E
Dx
x
C
Bx
x
A
x
x
Мұнда 
0

x
деп алсақ 
A

ны табамыз: 
0

x
, 
A


1
. 
Қалған белгісіздерді табу үшін теңдіктің оң және сол бӛліктеріндегі 
x

тің бірдей 
дәрежелерінің коэффициенттерін теңестіреміз: 
0


B
A
, 
0

C
, 
1
2



D
B
A
, 
1


E
C
, 
1


A
. 
Бұдан 
1


A
, 
1

B
, 
0

C
, 
2

D
, 
1

E
табамыз. Олай болса,
2
2
2
2
2
2
)
1
(
1
2
1
1
)
1
(
1










x
x
x
x
x
x
x
x
x
. 
Аудиториялық жұмысы: Анықталмаған интеграл:
[8] №№ 1766, 1774, 1794, 
1798, 1802, 1838, 1852, 1866, 1872.
 
Үй жұмысы 
№№ 1771, 1791, 1809, 1843, 1855, 1869. 
Тақырыбы: Иррационал және тригонометриялық функцияларды интегралдау. 
Мақсаты: Иррационал және тригонометриялық функциялардың интегралын 
есептеу. Интегралдау әдістерін игеру. 
1-есеп
 













3
2
5
5
6
6
3
6
2
6
3
6
6
,
)
(
)
(
t
t
dt
t
dt
t
dx
t
x
t
x
x
x
dx
x
x
dx













C
t
t
t
t
t
dt
dt
t
t
1
ln
6
3
2
1
)
1
(
6
2
3
2
C
x
x
x
x







6
6
3
1
ln
6
2
. 
ІІ. Есептеу керек: 



dx
c
bx
ax
x
R
)
,
(
2
, мұндағы 
c
b
a
,
,
-тұрақты сандар. Интеграл 
астындағы функция 
квадрат иррационалдық
деп аталады. 
Егер 
c
bx
ax


2
квадрат үшмүшелігінің 
2
1
,
x
x
-нақты түбірлері болса, онда 
c
bx
ax


2
)
)(
(
2
1
x
x
x
x
a



және




)
,
(
2
c
bx
ax
x
R


















1
2
1
2
1
,
)
(
,
x
x
x
x
x
R
a
x
x
x
x
x
x
x
R
аламыз, яғни І-түрдегі сызықты-бӛлшек иррационалдыққа келеміз. 
Енді, 
0
4
2



ac
b
D
деп алайық: егер 
0

a
болса, онда интегралды 
Эйлер 
ауыстыруы: 
a
x
t
c
bx
ax




2
арқылы рационалдауға болады. Ӛйткені, 






2
2
2
2
ax
a
tx
t
c
bx
ax
b
a
t
c
t
x



2
2
, 
онда 

a
b
a
t
c
t
t
a
x
t
c
bx
ax








2
2
2
рационал функция болады. 
2- есеп
 
Есептеу керек: 


dx
x
2
4
. 
4
2

x
биномының нақты түбірлері жоқ. Сондықтан, 
t
t
x
x
tx
t
x
x
t
x
2
4
2
4
4
2
2
2
2
2











және 
t
t
t
t
t
x
2
4
2
4
4
2
2
2






, 
dt
t
t
t
d
t
t
d
dx





 






 






 

2
2
2
2
1
2
2
2
4
. 
Осы ӛрнектерді берілген интегралға қойсақ 


















 




dt
t
t
t
dt
t
t
t
dx
x
3
2
2
2
16
8
4
1
2
2
1
2
4
4









C
t
t
t
C
t
t
t
2
4
2
2
8
16
ln
2
8
16
8
ln
2
C
x
x
x
x






4
2
4
ln
2
2
2
. 
3-есеп.
Табу керек: 


x
dx
cos
5
3
2
x
tg
u

болсын. Онда
2
2
1
1
cos
u
u
x



, 
2
1
2
u
du
dx


,
сондықтан, 















2
2
2
2
2
8
2
1
1
5
3
1
2
2
cos
5
3
u
du
u
u
u
du
x
tg
u
x
dx
C
x
tg
x
tg
C
u
u
u
du











2
2
2
2
ln
4
1
2
2
ln
2
2
1
4
2
.
4-есеп 










x
dx
x
x
x
dx
du
tgx
u
x
x
dx
2
2
2
2
2
2
cos
4
cos
sin
1
cos
cos
4
sin
C
tgx
tgx
tgx
d
x
tg







2
2
ln
4
1
)
(
2
1
2
2
.
Аудиториялық жұмысы: Анықталмаған интеграл:
[8] №№ 1926, 1930, 1966, 
1981, 1992, 2025.
 
Үй жұмысы 
№№ 1927, 1935, 1967, 1982, 1995, 2029. 
Практикалық cабақ №9

Тақырыбы: Анықталған интеграл. Интегралдау әдістері. 
Мақсаты: Интегралдау әдістерін игеру
.
 
1-есеп
:

3
8
3
0
3
2
3
3
2
0
3
2
0
2





x
dx
x
. 
2-есеп
:
анықталған интегралды есептеу керек. 
Шешім
:
Ньютона-Лейбниц формуласы
бойынша 
3-есеп
:
анықталған интегралды есептеу керек. 
Шешім
:
Анықталған интегралдың сызықты қасиетін қолданып, есептейік 
4-есеп. 















)
1
2
(
3
)
1
8
(
3
4
3
3
2
2
3
2
)
3
2
(
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
dx
dx
x
dx
x
3
)
1
2
2
(
3
4


; 
5-есеп. 














2
0
2
0
0
0
2
2
cos
cos
cos
cos
sin
1






dx
x
xdx
dx
x
dx
x
dx
x
2
1
1
2
sin
sin
0
sin
2
sin
sin
sin
2
2
0















x
x
; 
Анықталған интеграл:
[8] №№
 
2185, 2206, 2210, 2239, 2244, 2245, 2269, 2272, 
2334, 2337.
 
Үй жұмысы 
№№ 2209, 2242, 2248, 2270, 2335. 
Тақырыбы: Анықталған интегралды негізгі интегралдау әдістері. Айнымалыны 
алмастыру әдісі. Бөліктеп интегралдау әдісі. 

Мақсаты: Негізгі интегралдау әдістерін қолданып, анықталған интегралды 
есептеу.
 
1-есеп
:
анықталған интегралды есептеу керек. 
Шешім
:
2
x
t

ауыстыру еңгіземіз, онда
Интегралдың жаңа интегралдау шектерін табайық: 
0
1

x
болғанда 
0
0
2
1


t
, 
3
1

x
болғанда 
 
3
3
2
1


t
. 
Енді интегралды есептейміз 
2-есеп: 
Ауыстыру еңгізу арқылы 
dx
x
1
1
0
2


интегралды есептеу керек. 
Шешім
:
t
sin
x

ауыстыру еңгіземіз, онда 












)
1
x
(
);
0
t
(
)
0
t
(sin
)
0
x
(
;
tdt
cos
dx
,
t
sin
x
dx
x
1
1
0
2























dt
)
t
2
cos
1
(
2
1
tdt
cos
tdt
cos
t
sin
1
2
t
)
1
t
(sin
2
0
2
0
2
2
0
2
4
0
2
1
2
sin
2
2
1
0
2
2
t
2
sin
t




















 

. 

жүктеу/скачать 0,91 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: