Үй жұмысы  3925-3931 (тақ), 3933, 3936

Үй жұмысы 
3925-3931 (тақ), 3933, 3936.
 
Тақырыбы: Екі еселі интегралда айнымалыларды алмастыру. 
Мақсаты: Екі еселі интегралда айнымалыларды алмастыру. Екі еселі интегралда 
полярлық координаттарға көшу. 
Мысал 1.


D
y
x
dxdy
e
2
2
, D - бірінші квадрантта жататын 
4
y
x
2
2


дӛңгелегінің 
бӛлігі 












2
0
,
2
r
0
. Осы интегралды есептеу керек. 
Шешуі:




sin
r
y
,
cos
r
x
формулаларынан











y
r
y
x
r
x
)
v
,
u
(
J
;


r
sin
cos
r
cos
r
sin
sin
r
cos
)
v
,
u
(
J
2
2











. 
Сондықтан,
)
1
e
(
4
2
)
1
e
(
2
1
d
)
1
e
(
2
1
rdr
e
d
dxdy
e
4
4
2
0
4
2
0
r
2
0
D
y
x
2
2
2



















. 
Мысал 2.



D
2
3
dxdy
)
y
x
(
)
y
x
(
интегралын есепте, егер 
D:
1
y
x
,
3
y
x
,
1
y
x
,
1
y
x









түзулерімен шенелген аймақ болса. 
Шешуі:
Айталық, 
v
y
x
,
u
y
x




болсын, онда 
)
v
u
(
2
1
x


, 
)
v
u
(
2
1
y


. 
Ал түрлендіру Якобианы
2
1
J
;
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
v
y
u
y
v
x
u
x
J














. 
Сондықтан, 
dudv
v
u
2
1
dxdy
)
y
x
(
)
y
x
(
/
D
2
3
D
2
3





,
1
v
1
,
3
u
1
:
D
/





3
20
u
12
1
du
v
3
1
u
2
1
dv
v
du
u
2
1
dudv
v
u
2
1
3
1
4
3
1
1
1
3
3
1
1
2
3
1
3
D
2
3
/











. 

Мысал 3. 
0

y
, 
x
y

түзулерімен және 
x
y
x
2
2
2


шеңберімен шектелген жазық 
облыстың ауданын есептеңдер. 
Шешуі:









sin
cos
y
x
поляр координатын енгіземіз. Сонда облысты шектейтін 
шеңбердің теңдеуі 


cos
2

болады, мұндағы 
4
0




. 

нӛлден 

cos
2
– ге 
дейін ӛзгереді. Сонда 


2
1
4
2
sin
2
1
2
cos
1
cos
2
2
4
0
4
0
4
0
2
cos
2
0
2
0
2
cos
2
0
4
0







 































d
d
d
d
d
S
Аудиториялық жұмысы: Екі еселі интегралда айнымалыларды алмастыру:
[8] 
№№ 3938, 3940, 3943, 3948, 3951, 3954, 3957, 4175. 
Үй жұмысы 
№№ 3937, 3941, 3944, 3950, 3953, 3955, 3958. 
Практикалық cабақ №15 
Тақырыбы: Үш еселі интеграл. 
Мақсаты: Үш еселі интегралды есептеу. Үш еселі интегралда цилиндрлік және 
сфералық координаттарға көшу. 
Мысал 1.
Үш еселі интегралды берілген аймақ бойынша есептеу керек. 
)
2
z
y
x
,
0
z
,
0
y
,
0
x
(
:
V
,
dxdydz
)
y
x
(
V








. 
Шешуі: 



















x
2
0
y
x
2
0
2
0
y
x
2
0
x
2
0
2
0
V
dy
z
)
y
x
(
dx
dz
)
y
x
(
dy
dx
dxdydz
)
y
x
(
























x
2
0
3
2
2
0
x
2
0
2
2
0
3
)
y
x
(
)
y
x
(
dx
dy
)
y
x
(
)
y
x
(
2
dx
3
4
12
x
3
x
x
3
4
dx
3
x
3
8
x
4
2
0
2
0
4
3
3
2

























. 
Мысал 2.

V
zdxdydz интегралды есептеу керек, егер интегралдау аймағы 


1
z
y
x
:
)
z
,
y
,
x
(
V
2
2
2




болса, демек 
2
2
2
z
y
x


беті және 
1
z

жазықтығымен шенелген дене бойынша. 
Шешуі:
Интегралды цилиндрлік кординаттарға кӛшу арқылы есептейміз: 
.
dz
rdrd
dz
Jdrd
dxdydz
,
z
z
sin
r
y
,
cos
r
x









Цилиндрлік координаттар жүйесінде интегралдау аймағы 
V

мына теңсіздіктер 
арқылы анықталады: 
1
z
r
,
1
r
0
,
2
0








. Сондықтан, 

























1
r
2
1
0
2
0
1
r
1
0
2
0
V
V
2
z
rdr
d
zdz
rdr
d
dz
zrdrd
zdxdydz
/
4
8
1
d
8
1
8
r
4
r
d
dr
2
r
2
1
r
d
2
0
2
0
1
0
4
2
2
0
1
0
2
2
0
































. 
Мысал 3.






V
2
3
2
2
2
.
z
y
x
1
dxdydz
Интегралдау аймағы 


1
z
y
x
:
)
z
,
y
,
x
(
V
2
2
2




, демек радиусы 1-ге тең, центрі координат басында 
жатқан шар. 
Шешуі:
Интегралды сфералық координаттарға кӛшу арқылы есептейміз: 

















d
d
d
sin
dxdydz
;
cos
z
,
sin
sin
y
,
sin
cos
x
2
. 
Сфералық координаттар жүйесіндегі V-ның бейнесі: 




















2
0
,
0
,
1
0
,
,
,
M
V
/
Сондықтан, 
































1
0
2
0
0
2
3
2
2
V
2
3
2
2
V
2
3
2
2
2
d
d
sin
)
1
(
d
1
d
d
d
sin
z
y
x
1
dxdydz
2
1
n
2
4





болады. 
Аудиториялық жұмысы: Үш еселі интегралды есептеу:
[8] №№ 4076, 4078, 4081.
 
Үш еселі интегралда айнымалыларды алмастыру:
[8] №№ 4087,4091. 
Үй жұмысы 
№№ 4077, 4082. №№ 4088,4092. 
Тақырыбы: Еселі интегралдардың кейбір қолданыстары. 
Мақсаты: Еселі интегралдардың аудандар және көлемдер есептеуге қолдану, 
физикада қолданылуы. 
Екі еселі интегралды геометрияда және физикада қолдану.
 
Мысал 1.
І-ширекте орналасқан және, 
2
x
1
y
,
x
3
z



, 
0
z
,
5
y


беттерімен 
шенелген дененің кӛлемін есептеу керек. 
Шешуі:
5
y
x
1
y
,
2
x
0
,
x
3
)
y
,
x
(
f
z
2








. 
2
2
5
2
2
3
2
4
0
D
0
0
1 x
1
V
3xdxdy
3 xdx
dy
3 ( 4x
x )dx
3 2x
x
12
4


















. 
Мысал 2.
D: 
6
y
x
,
y
y
4
x
2




сызықтармен шенелген жазық фигураның 
ауданын есептеу керек. 
Шешуі:
Сызықтардың қиылысу нүктелерін табамыз. 
)
3
;
3
(
B
),
2
;
4
(
A
,
3
y
,
2
y
;
3
x
,
4
x
6
y
x
0
y
4
y
x
2
1
2
1
2













. 
Сондықтан 



6
1
y
6
y
2
5
y
3
1
dy
6
y
5
y
dx
dy
dxdy
S
3
2
2
3
3
2
2
y
y
4
y
6
3
2
D
2























. 
Мысал 3.
x
2
y
x
2
2


цилиндрінің ішіндегі 
2
2
y
x
z


конус бӛлігі бетінің 
ауданын есепте. 
Шешуі:
Конустың теңдеуінен 
2
2
2
2
y
x
y
y
z
,
y
x
x
x
z








, Интегралдау 
аймағы 
x
2
y
x
2
2


шеңберімен шенелген дӛңгелек
(
0
x
2
y
x
2
2



,
1
y
)
1
x
(
2
2



шеңбердің теңдеуі) немесе 



сos
2
, онда 



















cos
2
0
2
2
D
D
2
2
2
2
2
2
d
d
2
dxdy
2
dxdy
y
x
y
y
x
x
1
S




















2
0
2
0
2
2
0
cos
2
0
2
d
2
cos
1
2
2
d
cos
2
4
d
2
1
2
2
.
2
2
2
sin
2
2
2
0













Мысал 4.
4
x
2
y
,
4
x
4
y
2
2





сызықтарымен шенелген фигураның ауырлық 
центрінің координаттарын табыңдар. 
Шешуі:
Берілген фигура Ох ӛсі бойынша симметриялы, онда 
0
y
c

, сондықтан 
c
x
- ны табамыз. Жазық фигураның ауданын табайық. 
 
 





















dy
4
4
y
2
y
4
2
dx
dy
2
dxdy
S
2
0
2
2
y
4
2
1
4
y
4
1
2
0
D
2
2
8
12
y
y
6
dy
4
y
3
3
2
2
0
3
2
0
2


















,
8
S

.
Осыдан
 
 






















dy
4
y
16
1
y
4
4
1
8
1
xdx
dy
2
8
1
xdxdy
8
1
x
2
0
2
2
2
2
y
4
2
1
4
y
4
1
2
0
D
c
2
2
0
y
,
5
2
x
:
5
2
y
5
1
16
3
y
2
1
у
3
8
1
dy
y
16
3
y
2
3
3
8
1
c
c
2
0
5
3
2
0
4
2



















. 
Үш еселі интегралдардың қолданулары

Мысал 5.
Үш еселі интегралды пайдаланып, 
0
z
4,
z
x
,
x
2
y
,





x
y
беттерімен шенелген дененің кӛлемін табыңдар. 
Шешуі:
Жоғары жағынан 
4


z
x
беті, ал тӛменгі жағынан 
0

z
жазықтығы, ал 
бүйір жағынан 
x
y

және 
x
y
2

тік цилиндрлермен шенелген цилиндрлік дене 
деп қарастырамыз. Онда 








15
128
5
2
3
2
4
4
2
4
4
4
0
2
5
2
3
4
0
4
0
2
4
0
4
0
2
4
0
4
0





































x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
dy
x
dx
dz
dy
dx
dz
dxdy
dxdydz
V
x
x
x
x
x
V
D
x
Аудиториялық жұмысы: Еселі интегралдардың аудандар және көлемдер 
есептеуге қолдану, физикада қолданылуы:
[8] №№ 3984, 3987, 4007, 4036, 4052, 
4061, 4101, 4107, 4133, 4143. 
Үй жұмысы 
№№ 3988, 3996, 4013, 4037, 4053, 4063, 4102, 4134, 4145.