Практикалық cабақ №1 Тақырыбы: Жиындар. Нақты сандар

   
 
3
9
3
4
3
2
M
z
,
9
9
0
4
0
2
M
z
M
z
2
5
4
3















. Сол сияқты z 
функцияның 
0
x

шекарадағы ӛзгерісін қарастырамыз. Бұл жағдайда 
.
0
y
y
2
z
,
3
y
3
,
y
z
y
2










Функция ӛзінің ең үлкен және ең кіші 
мәндерін келесі нүктелерде қабылдауы мүмкін: 
),
3
,
0
(
M
3

),
3
,
0
(
M
4
)
0
,
0
(
M
6
. Бұл 
нүктелерде
   
,
9
M
z
M
z
4
3



 
0
M
z
6

. Ендеше 
 




11
0
;
3
;
9
;
11
;
4
min
M
z
min
z
min
i








, 
 




0
0
;
3
;
9
;
11
;
4
max
M
z
max
z
max
i







. 
Аудиториялық жұмысы: Көп айнымалы функцияны экстремумге зерттеу:
[8] 
№№ 3621, 3628, 3642, 3651, 3675. 
Үй жұмысы 
№№ 3624, 3633, 3643, 3654, 3679. 
Практикалық cабақ №14 
Тақырыбы: Екі еселі интеграл. 
Мақсаты: Екі еселі интегралды есептеу. Екі еселі интегралды қайталама 
интегралға келтіру. 
1 - есеп
. 
Интегралдау ретін ӛзгертіңіз.
)
x
y
x
,
1
x
0
(
:
D
;
dy
)
y
,
x
(
f
dx
2
x
x
1
0
2






Шешуі:
D аймағы 
1
y
,
0
y
,
y
x
,
y
x
2




, осыдан





y
y
1
0
x
x
1
0
dx
)
y
,
x
(
f
dy
dy
)
y
,
x
(
f
dx
2
. 
2 - есеп
. 
Интегралдау ретін ӛзгертіңіз. 
)
x
2
y
x
,
1
x
0
(
:
D
;
dy
)
y
,
x
(
f
dx
2
x
2
x
1
0
2








Шешуі:
D=D
1
+D
2
болғандықтан, 









y
2
0
2
1
y
0
1
0
x
x
1
0
dx
)
y
,
x
(
f
dy
dx
)
y
,
x
(
f
dy
dy
)
y
,
x
(
f
dx
2
3 - есеп
. 
4
y
0,
y
2,
x
,
1




x
түзулерімен шектелген тіктӛртбұрышты 
D
облысындағы 




D
dxdy
y
x
3
екі еселі интегралын есептеңдер. 
 
Шешуі:
Берілген екі еселі интеграл тӛмендегідей қайталама интегралға келтіреді. 




 




2
1
4
0
3
3
dy
y
x
dx
dxdy
y
x
D
x
– ті тұрақты деп есептеп ішкі интегралды есептейміз: 


64
4
4
4
0
4
0
4
3












x
y
xy
dy
y
x
Алынған 
x
– тің функциясын [1,2] кесіндісінде интегралдаймыз. 





70
64
2
2
64
4
2
64
2
4
64
4
2
1
2
1
2
3





















x
x
dx
x
dxdy
y
x
D
Аудиториялық жұмысы: Екі еселі интегралды есептеу:
[8] №№ 3906, 3916-3922 
(жұп). 
Үй жұмысы 
№№ 3907, 3917-3921 (тақ). 
Тақырыбы: Кез келген облыс бойынша екі еселі интеграл. 
Мақсаты: Кез келген облыс бойынша екі еселі интегралды есептеу. 
Қисықсызықты облыс жағдайында екі еселі интегралды қайталанған интегралға 
келтіру. 
Мысал 1.
 
2
2
y
x
,


x
y
параболарымен шектелген 
D
облысында 

D
dxdy
y
x
екі 
еселі интегралын есептеңіз. 
Шешуі:
 
D
облысының тӛменгі шекарасы 
2
x
y

ал жоғары шекарасы 
2
y
x

, 
яғни 
x
y

, мұндағы радикал алдына "+" таңбасы қойылады, ӛйткені 
D
облысы 
хОу жазықтығының 
0

у
бӛлігінде орналасқан 
x
– тің [0,1] кесіндісіндегі 
кезкелген бекітілген мәнінде 
у
2
x
y

– тан 
x
y

не дейін ӛзгереді. 
Сондықтан 
2
2
1
x
1
1
x
2
x
D
0
0
0
x
x
x
dxdy
dx
dy
x(ln y )
dx
x(ln x
ln x )dx
y
y






 


1
1
2
0
0
u
ln x
dv
xdx
1
3
x( ln x
2ln x )dx
xln xdx
1
1
2
2
du
dx
v
x
x
2




 






1
1
2
1
2
2
2
0
x
0
0
0
3 1
1
dx
3
1 x
3
x ln x
x
lim x ln x
0
.
2 2
2
x
2
2
2
8





 


  
 










Мысал 2.
 
12
,
4
,
2
2





y
x
y
x
x
y
сызықтарымен шенелген 
D
облысында 
dxdy
y
x
I
D



)
(
екі еселі интегралын есептеңіз. 
Шешуі: 






4
,
2
2
y
x
x
y
және






,
12
,
2
2
y
x
x
y
теңдеулер жүйелерін шешіп, сәйкесінше 
2
1

x
, 
8
2

x
және 
8
1

x
, 
18
2

x
аламыз. Сондықтан 
D
облысын 
2
1
D
D
D


түрінде жазамыз, мұнда 
}
2
4
,
8
2
:
)
,
{(
2
1
x
y
x
x
R
y
x
D







, 
}
12
2
,
18
8
:
)
,
{(
2
2
x
y
x
x
R
y
x
D








. 
Екі еселі интегралдың қасиеттерін қолданып және қайталанған интегралдарға 
кӛшіп,


















dy
y
x
dx
dy
y
x
dx
dxdy
y
x
dxdy
y
x
I
x
x
x
x
D
D
12
2
18
8
2
4
8
2
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(


























8
2
2
3
2
18
8
12
2
2
8
2
2
4
2
8
2
2
)
(
2
1
)
(
2
1
dx
x
x
x
dx
y
x
dx
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
15
11
543
2
2
72
18
8
2
3
2












dx
x
x
x
аламыз. 
Аудиториялық жұмысы: Екі еселі интегралды есептеу:
[8] 3924-3930 (жұп), 
3932, 3935. 

жүктеу/скачать 0,91 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: