Преобразование фурье в примерах и задачах
жүктеу/скачать 0,67 Mb.
|
Преобразование Фурье
| ПРИМЕР 12.
т. е. сдвиг по аргументу у функции приводит к сдвигу по фазе у ее преобразования Фурье. Решение. Найдем прямое преобразование Фурье для функции (выполнена подстановка ). ПРИМЕР 13. Докажите, что если преобразованием Фурье функции является , то преобразованием Фурье функции служит Решение. Преобразованием Фурье функции будет (выполнена подстановка ) при a > 0; при a < 0 надо переставить пределы интегрирования, что даст Найдите аналоги приведенных выше свойств для обратного преобразования Фурье. ПРИМЕР 14. Пусть функция и ее первая производная непрерывны и абсолютно интегрируемы на . Докажите равенство Решение. Запишем прямое преобразование Фурье для функции Так как и непрерывны и абсолютно интегрируемы, то интеграл можно взять по частям Покажем, что если функции и абсолютно интегрируемы, то при Так как то ограничена на бесконечности. Но так как абсолютно интегрируема, то площадь под графиком функции ограничена, а это возможно только если при Аналогично можно показать, что при Так как при и то внеинтегральное слагаемое зануляется и что доказывает требуемое утверждение. Аналогично доказывается равенство Эти равенства означают, что преобразование Фурье переводит (с точностью до числового множителя) операцию дифференцирования в операцию умножения на независимую переменную. А в терминах операторов квантовой механики — унитарную эквивалентность оператора импульса и оператора координаты. ПРИМЕР 15. Пусть функция непрерывна на и, кроме того, функции и абсолютно интегрируемы на ℝ. Докажите, что функции и дифференцируемы, причем Эти равенства означают, что преобразование Фурье переводит (с точностью до числового множителя) операцию умножения на независимую переменную в операцию дифференцирования. Решение. Докажем первое равенство. Продифференцируем по параметру интеграл Операция дифференцирования интеграла по параметру законна, так как гладкая по y функция, а для функции существует интегрируемая на ℝ мажорирующая функция Преобразование Фурье функции также существует, потому что xf(x) абсолютно интегрируема на ℝ. Найдите прямое и обратное преобразования Фурье следующих функций. ПРИМЕР 16. Решение. Запишем прямое преобразование Фурье для функции f. В примере 3 мы убедились, что функция f кусочно-гладкая и абсолютно интегрируемая. Используя доказанное в примере 8 свойство преобразования Фурье получаем ПРИМЕР 17. Решение. Представим функцию в виде где f — функция, заданная в примере 16 при a = π. Используя формулу из примера 11: имеем ПРИМЕР 18. Найти преобразование Фурье функции Решение. Формула (11) дает Выделяя в показателе экспоненты полный квадрат и обозначая получаем где (L) — прямая в комплексной плоскости z, параллельная вещественной оси и проходящая через точку Покажем, что интеграл не зависит от . Для этого продифференцируем по параметру . Операцию дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, можем произвести, поскольку он мажорируется сходящимся интегралом, не зависящим от параметра. Оценим исходный интеграл так как Откуда для всех получаем Полагая в (14), получим Подставляя найденное значение в (14), находим В случае, когда , последняя формула приобретает вид ПРИМЕР 19. Найти преобразование Фурье функции Решение. Используя формулу для преобразования Фурье, приведенную в примере 11: и формулу (16), имеем ПРИМЕР 20. Пусть — абсолютно интегрируемая кусочногладкая непрерывная функция. Докажите, что если и только если f — четная функция. Решение. Сначала покажем, что если функция f четная, то ее прямое преобразование Фурье равно обратному. Выполняя в этом интеграле замену переменной и используя равенство , получим Теперь покажем, что если прямое преобразование Фурье функции равно обратному, то она четная. Используя формулы Эйлера, запишем преобразования Фурье в виде Из равенства преобразований Фурье получаем Каждую функцию f можно представить как сумму f = fч + fн четной fч и нечетной fн функций, где В этом равенстве первый интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку, значит, а это есть преобразование Фурье нечетной функции. Покажем, что если преобразование Фурье нечетной функции равно нулю, то равна нулю сама нечетная функция. Используем формулу обращения Следовательно, функция является четной f = fч. В условии было сказано, что функция абсолютно интегрируемая, непрерывная и кусочно-гладкая. Абсолютная интегрируемость функции применяется для обоснования существования преобразований Фурье, а кусочная гладкость и непрерывность — при использовании формулы обращения. 2.2. Преобразование Фурье быстро убывающих функций Преобразование Фурье быстро убывающих функций расширяет круг задач, в которых оно применяется, и упрощает технические детали. жүктеу/скачать 0,67 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|