Преобразование фурье в примерах и задачах
жүктеу/скачать 0,67 Mb.
|
Преобразование Фурье
| 2.2.1. Быстро убывающие функции
Определение. Мультииндексом α называется вектор , все компоненты которого — неотрицательные целые числа. При этом число n называют длиной мультииндекса α, а число — его весом. Для любой (достаточно гладкой) функции ее производную кратко записывают как . Определение. Функцию называют быстро убывающей, если 1) f бесконечно дифференцируема в R n и 2) для каждого мультииндекса α и каждого положительного числа p найдется постоянная такая, что для всех x ∈ . Здесь |x| обозначает длину вектора , т. е. Приведем еще одно определение. Функцию называют быстро убывающей, если 1) f бесконечно дифференцируема в и 2) для любых мультииндексо функция ограничена в (т. е. найдется постоянная < +∞ такая, что для всех x ∈ ). Эти два определения быстро убывающей функции эквивалентны 2.2.2. Cвойства быстро убывающих функций 1. Если f и g — быстро убывающие функции, то для любых комплексных чисел a и b функция af + bg также является быстро убывающей. 2. Если f — быстро убывающая функция, то для любого мультииндекса α функция также является быстро убывающей. 3. Если f — быстро убывающая функция, то для любого мультииндекса α функция является быстро убывающей. 4. Произведение быстро убывающей функции на многочлен есть функция быстро убывающая. Совокупность всех быстро убывающих функций, заданных в пространстве , образует векторное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число. Это пространство обозначают через S . 2.2.3. Преобразование Фурье быстро убывающих функций Определение. Быстро убывающей функции сопоставим две новые функции и
где — скалярное произведение в Преобразование, переводящее функцию f в функцию , называется прямым преобразованием Фурье и обозначается через . При этом саму функцию называют прямым преобразованием Фурье функции f. Аналогично преобразование, переводящее f в , называется обратным преобразованием Фурье и обозначается через . При этом функцию называют обратным преобразованием Фурье функции f. Отметим, что интегралы, задающие прямое и обратное преобразования Фурье, являются сходящимися, поскольку модуль экспоненты с чисто мнимым показателем равен единице и для любого p > 0 быстро убывающая функция f допускает оценку справедливую с некоторой постоянной C < +∞ для всех x ∈ . Поэтому как известно из курса математического анализа, последняя функция интегрируема по всему пространству , если только p > n. Отметим также, что при n = 1 определение преобразования Фурье, данное в настоящем параграфе, совпадает с определением, приведенным ранее в пункте 2.1. 2.2.4. Свойства преобразования Фурье быстро убывающих функций 1. Преобразование Фурье линейно, т. е. для любых и любых справедливы равенства 2. Для любого мультииндекса α и любой быстро убывающей функции f справедливы равенства 3. Для любого мультииндекса α и любой быстро убывающей функции f справедливы равнства 4. Пусть A — невырожденная n×n-матрица, b — n-мерный вектор и — быстро убывающая функция. Тогда Здесь обозначает матрицу, обратную к A, а матрицу сопряженную к , 1 , т. е. такую (единственным образом определенную) матрицу, что для любых векторов справедливо равенство 5. Если — быстро убывающая функция, а , то Свойство 6 обычно называют правилом изменения масштаба. 7. Как прямое, так и обратное преобразование Фурье переводит пространство быстро убывающих функций в себя. Другими словами, какова бы ни была функция обе функции F±[f(x)] принадлежат . жүктеу/скачать 0,67 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|