Преобразование фурье в примерах и задачах
жүктеу/скачать 0,67 Mb.
|
Преобразование Фурье
| 8. Для любой быстро убывающей функции справедливы равенства
и Другими словами, последовательное применение прямого и обратного преобразований Фурье не изменяет функции. Свойство 8 называют формулой обращения для преобразования Фурье. ПРИМЕР 21. Проверьте, что функция , a > 0, как и все ее производные, определенные при , убывает на бесконечности быстрее любой степени переменной x, и тем не менее эта функция не является быстро убывающей. Решение. Покажем, что для функции , a > 0, для всех и любых выполняется неравенство из определения быстро убывающей функции, т.е. она и любая ее производная убывают на бесконечности быстрее многочлена любой степени. Для этого вычислим следующие пределы на бесконечности Здесь мы воспользовались известными из математического анализа пределами and Покажем, что у функции , a > 0 в точке x = 0 не существует производная. Для этого вычислим следующие пределы: Следовательно, для функции не выполняется первое условие из определения быстро убывающей функции, и она не является быстро убывающей. ПРИМЕР 22. Докажите, что функция , a > 0, является бесконечно дифференцируемой на R функцией, но не является быстро убывающей. Решение. Вычислим преобразование Фурье функции Раскроем модуль и представим интеграл в уравнении в виде суммы двух интегралов Функция бесконечно дифференцируема на R. Покажем, что она не убывает на бесконечности быстрее любого многочлена. Придадим числам α и β следующие значения α = 3, β = 0 и подставим их в выражение .Получим эта функция ведет себя на бесконечности как функция g(y) = ky, k ∈ R. Следовательно, она не является быстро убывающей. 2.2.5. Свертка быстро убывающих функций Каждым двум быстро убывающим функциям сопоставим новую функцию , называемую сверткой функций f и g и задаваемую формулой Свертка обладает следующими свойствами. 1. Свертка коммутативна: 2. Свертка ассоциативна: (f*g)*h=f*(g*h). 3. Свертка линейна пo первому аргументу, т. е. для любых комплексных чисел a, b ∈ C и любых быстро убывающих функций f, g и h справедливо равенство 4. Для любого мультииндекса α и любых быстро убывающих функций f, g справедливы равенства Другими словами, чтобы продифференцировать свертку, можно сначала продифференцировать любую из функций, а затем свернуть результат с другой функцией. 5. Преобразование Фурье с точностью до константы переводит свертку двух функций в произведение преобразований Фурье этих функций 6. Преобразование Фурье с точностью до константы переводит произведение двух функций в свертку преобразований Фурье этих функций Прежде чем перейти к последующим задачам, познакомимся с функцией Хевисайда. Функцией Хевисайда называется функция вида На рис. 5–7 приведены графики функций H(x), H(−x), H(x − a), a > 0. Рис. 5. График функции H(x) Рис. 6. График функции H(−x) Рис. 7. График функции H(x − a), a > 0 ПРИМЕР 23. Найти свертку Решение. По определению свертки и функции Хевисайда имеем Подинтегральная функция имеет в . На рис. 8 и 9 приведены графики функций и при и соответственно. В первом случае ступеньки и не пересекаются, и произведение для всех y, а во втором –пересекаются, и при . Рис. 8. Графики функций H(y) и H(x − y) при x < 0 Рис. 9. Графики функций H(y) и H(x − y) при x > 0 Следовательно, Иначе последнее выражение можно записать так: ПРИМЕР 24. Найти свертку Решение. Используя предыдущий пример, получим В примерах 25 и 26 докажите равенства, считая параметры a и b положительными. ПРИМЕР 25. если Решение. Докажем это равенство двумя способами: напрямую по определению и используя свойства преобразования Фурье свертки. Доказательство по определению. Запишем свертку функций жүктеу/скачать 0,67 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|