Преобразование фурье в примерах и задачах
жүктеу/скачать 0,67 Mb.
|
Преобразование Фурье
| Сначала найдем функцию Используя следствия свойства преобразования Фурье, приведенные в примере 11
и формулу обращения имеем Теперь найдем функцию Введем новую функцию тогда Преобразования Фурье примет вид Пользуясь свойством дифференцирования преобразование Фурье, имеем Используя следствия свойства преобразования Фурье, приведенные в примере 11 перепишем преобразование Фурье в виде Собрав все вместе, получим Обоснуем теперь дифференцируемость интеграла (23), зависящего от параметра: мы получили, что искомая функция u(t, x) выражается через заданные функции f(x) и g(x), для которых мы приняли, что они являются быстро убывающими. По свойствам быстро убывающих функций u(t, x) также является быстро убывающей функцией. Следовательно, операция дифференцирования была законной ЗАДАЧА 26. Решить уравнение теплопроводности если начальное распределение температуры имеет вид Ответ Свойства преобразования Фурье Из истории вопроса Изучая тему «Ряды Фурье», мы вывели уравнение малых поперечных колебаний струны, закрепленной в точках x = 0 и x = l которое удовлетворяет начальным условиям и граничным условиям методом Фурье (или методом разделения переменных). Уравнение (29) было впервые выписано и решено в 1747 г. методом бегущих волн (методом Даламбера) Ж. Л. Д’аламбером. Но большее значение имело несколько более позднее решение той же задачи, найденное Даниилом Бернулли (1753 г.). Он решил это уравнение методом разделения переменных и нашел решение в виде где — произвольное число, а n — выбранное заранее натуральное число. Таким образом, Д. Бернулли нашел семейство решений, удовлетворяющее как граничным условиям (31), так и второму из начальных условий (30). При этом начальная форма струны должна удовлетворять уравнению т. е. начальная форма струны не могла быть произвольной. Гениальная идея Бернулли состояла в сведении произвольного колебания струны к системе отдельных гармонических колебаний. Он предложил использовать принцип суперпозиции, т. е. тот факт, что любая сумма решений уравнения (29) также удовлетворяет этому решению. Сумма частных решений (32) удовлетворяет уравнению (29), обоим граничным условиям (31) и второму из начальных условий (30), поскольку этому уравнению и условиям удовлетворяет каждое слагаемое суммы. Подставляя в (33) значение t = 0 и учитывая первое начальное условие, получаем — и задача сводится к тому, чтобы определить из (34) коэффициенты представления (33) решения уравнения (29). Научившись задавать эти коэффициенты так, чтобы небольшое число слагаемых в сумме (33) наиболее полным образом описывало искомую функцию , можно сконструировать «непрерывное» колебание струны из набора гармонических колебаний. Бернулли много занимался теорией колебаний и был хорошо знаком с процессом разложения произвольного колебания на отдельные гармоники. Исходя из своего опыта, он полагал, что формула (33) дает общее решение уравнения колебания струны (29), а коэффициенты определяются из условия (34). Дальнейшее усовершенствование метода Бернулли связано в первую очередь с исследованиями Жана Батиста Фурье (1768–1830). Фурье впервые изложил в связном виде общую теорию разложения функций в тригонометрические ряды, основанную на простых формулах для определения коэффициентов; он дал также множество примеров разложения конкретных функций. Но еще важнее были глубокие применения подобных разложений к конкретным задачам математической физики, например, к задаче о распространении тепла. Эти приложения базировались на той же идее, что и у Бернулли: начальные условия соответствующей задачи Фурье первоначально считал «синусоидальными». В этом случае решить задачу оказывалось сравнительно несложно, а общее решение получалось отсюда с помощью принципа суперпозиции и возможности разложения произвольной начальной функции f(x) в тригонометрический ряд. И не случайно, несмотря на то что отдельные примеры разложений функций в тригонометрические ряды до Фурье рассматривались многими учеными (скажем, Л. Эйлером, Д. Бернулли, К. Ф. Гауссом и др.), все такие ряды сегодня принято называть рядами Фурье. Процедура разложения функции в ряд Фурье (или в тригонометрический ряд) носит название спектрального анализа функции. Спектральное разложение периодических (или заданных на конечном промежутке [−l, l]) функций представляет собой ряд из «гармонических колебаний», частоты которых образуют дискретную последовательность и играет большую роль в математике, в частности, в изучении колебательных процессов. Само выражение «спектральное разложение» (или «спектральный анализ») функций связано с тем, что такой характер имеет разложение света в совокупность волн (гармонических колебаний) разной длины волны (или разного периода), причем для световых волн каждой длине волны (или периоду) отвечает свой цвет. В общем случае спектральное разложение произвольной (непериодической) (т. е. при l → +∞) функции содержит «гармоники», отвечающие всевозможным частотам, так что суммы приходится заменять интегралами Фурье, распространенными по широкому «спектру» частот. При переходе к пределу происходит качественный скачок, так как функция, заданная на всей оси x или на полуоси x, разлагается в интеграл, который представляет собой сумму «гармонических колебаний», частоты которых непрерывно заполняют действительную полуось 0 ≤ y < +∞ Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции f(x), которое задается формулой называют образом Фурье, или спектральной характеристикой функции f(x). Преобразование Фурье переводит функцию в совокупность частотных составляющих, т. е. раскладывает исходную функцию на базисные функции, в качестве которых выступают синусоидальные функции (преобразование Фурье представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид различной частоты, амплитуды и фазы). В случае, когда функция является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование интерпретируют как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции представляет амплитуды соответствующих частот (мы их обозначали как y), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции. При изложение исторического материала использованы данные [4]. Предметный указатель Анализ спектральный функции 76 Бета-функция 51 Вес мультииндекса 36 Гамма-функция 50 Длина мультииндекса 36 Интеграл Дирихле 15 — Лапласа 17 — Пyaccoнa 49 — Фурье 5 — Эйлера первого рода 51 — Эйлера второго рода 50 Косинус-преобразование Фурье 5 — обратное 7 Лемма Римана—Лебега 5 Мультииндекс 36 Образ Фурье 77 Преобразование Фурье 22 — обратное 22 — прямое 22 — быстро убывающей функции 38 — — обратное 38 — — прямое 38 Свертка быстро убывающих функций 42 Синус-преобразование Фурье 5 — обратное 7 Теорема о представимости функции в точке своим интегралом Фурье 6 — обобщенная Коши 52 Формула интегральная Фурье 5 — обращения 23 — Пуассона 56 Функция абсолютно интегрируемая 5 — быстро убывающая 36 — кусочно-гладкая 5 — Хевисайда 43 Характеристика функции спектральная 77 Список литературы 1. Александров В. А. Преобразование Фурье: Учеб. пособие. Новосибирск : НГУ, 2002. 2. Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М. : Наука, 1972. 3. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М. : Наука, 1965. 4. Зельдович Я. Б., Яглом И. М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. М. : Наука, 1982. 5. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М. : Высшая школа, 1989. 6. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. М. : Наука, Физматлит, 1995. 7. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М. : Изд-во МГУ, 1999. 8. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. М. : Наука, 1969. жүктеу/скачать 0,67 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|