Примеры сильнейших землетрясений мира

27 
2.5 Уравнения движения
 
Выведем теперь уравнения, определяющие передачу движений частиц упругой 
среды. Согласно законам механики, движение точки (элемента среды с массой 
dm
) определяется уравнением 
f
u
d
dm
dt
d
=
2
2
(2.9) 
 
где 
d
f
– 
сила, действующая на этот элемент среды. Пусть этот элемент среды 
имеет объем 
d
Ω
, тогда 
Ω
=
d
dm
)
(
x
ρ
,
Ω
=
d
t
d
)
,
(
x
f
f
, где 
)
(
x
ρ
- 
плотность среды 
в точке 
х
, а 
f
(
x
) сила, приложенная к единице объема.
Рассмотрим некоторый объем 
Ω
среды, способной подвергаться деформации. 
Проинтегрируем (2.9) по этому объему. Левая часть этого уравнения примет вид 
Ω
∂
∂
∫∫∫
Ω
d
t
t
2
2
)
,
(
)
(
x
u
x
ρ
, (2.10) 
а в правой мы будем иметь сумму всех сил, действующих на этот объем среды. 
Это будут так называемые объемные силы, приложенные к точкам данного 
объема (к ним относятся, например, гравитационные силы и различные внешние 
воздействия), и поверхностные силы, обусловленные деформацией среды: 
∫∫
∫∫∫
+
Ω
Ω
S
n
dS
d
t
T
x
f
)
,
(
, (2. 11)
где 
T
n
– 
напряжение, приложенное 
к поверхности 
S
объема 
Ω
(рис.2.5). 
Выражая 
T
n
по формуле (2.1) и приравнивая
(2.
10
) и (2.11), получим 
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
Ω
Ω
Ω
−
Ω
∂
∂
=
S
i
i
d
d
t
dS
n
f
u
T
2
2
)
,
(
ρ
, (2.12) 
или в компонентах Рис.2.5,
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
Ω
Ω
Ω
−
Ω
∂
∂
=
S
k
k
i
ik
d
f
d
t
u
dS
n
T
2
2
ρ
(2.13)
иллюстрирующий вывод
уравнения движения
упругой среды 
В силу симметрии тензора напряжения левую часть можно иначе записать в 
виде: 
∫∫
∫∫
=
S
kn
S
i
ki
dS
T
dS
n
T
и преобразовать этот интеграл по формуле Гаусса-Остроградского 
Ω
=
∫∫∫
∫∫
Ω
d
div
dS
T
k
S
kn
T
Учитывая, что объем 
Ω
может быть взят произвольным, получим следующее 
равенство 
k
k
k
t
div
f
u
T
−
∂
∂
=
2
2
ρ
(2.14 ) 
Ω
S
n
T
n

28 
Равенство (2.14) может быть записано в векторной форме 
f
u
−
∂
∂
=
∇
2
2
t
ρ
Τ
(2.15) 
где
∇Τ
 
обозначает результат действия оператора 






∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∇
3
2
1
,
,
x
x
x
на тензор 
Τ
, 
или в координатах 
x,y,z
: 
z
zz
zy
zx
y
yz
yy
yx
x
xz
xy
xx
f
t
w
z
T
y
T
x
T
f
t
v
z
T
y
T
x
T
f
t
u
z
T
y
T
x
T
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
ρ
ρ
ρ
(2.16) 
Уравнения (2.15) и (2.16) справедливы для любой среды, в том числе и 
неидеально упругой. В таком виде, однако, уравнение решено не может быть, 
поскольку в левую часть входят напряжения, а в правую – производные от 
смещений. Чтобы решить эти уравнения, необходимо выразить напряжения 
через смещения. В случае однородной изотропной упругой среды связь 
напряжений и деформаций (а деформации выражаются через пространственные 
производные от смещений) определяется законом Гука (2.3). Каждое из 
уравнений (2.16) может быть записано в виде
i
i
k
ik
f
t
u
x
T
−
∂
∂
=
∂
∂
2
2
ρ
Подставляя вместо 
T
ik
выражение (2.3), получим 
i
i
i
k
k
i
ik
k
f
t
u
x
u
x
u
div
x
−
∂
∂
=






















∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
ρ
µ
δ
λ
u
Преобразуем левую часть этого уравнения: 
i
i
i
i
f
t
u
u
div
x
−
∂
∂
=
∆
+
∂
∂
+
2
2
)
(
ρ
µ
µ
λ
u
(2.17) 
С учетом того, что 
u
u
u
rotrot
div
−
∇
=
∆
, это уравнение в векторной форме 
записывается следующим образом: 
f
u
u
u
−
∂
∂
=
−
∇
+
2
2
)
2
(
t
rotrot
div
ρ
µ
λ
(2.18) 
2.6.Сейсмические волны 
 
Как только произошло возмущение упругой среды в какой-либо ее части, оно 
начинает распространяться в остальную часть среды согласно уравнению 
движения (2.15). Это распространение происходит в форме волнового движения 
с конечной скоростью. Рассмотрим решение уравнения движения для 
однородной изотропной среды (2.18). Наиболее распространенный подход к 
решению этого уравнения заключается в представлении искомого поля 

29 
смещений через потенциалы. Известно, что любое векторное поле может быть 
представлено в виде суммы потенциальной и вихревой части, т.е.
)
(
)
(
)
(

жүктеу/скачать 8,05 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: