Жиынның толықтауышы. Жиындардың айырмасы

Сонымен, егер ВÌА болса, онда А жиынының В жиынына тиісті емес элементтерінің жиыны В жиынының А жиынындағы толықтауышы деп аталады және  арқылы белгіленеді.

А жиынынан в жиынын азайтуды В жиыны А жиынының ішкі жиыны болмаған жағдайда да орындауға болады. А және В жиындарының айырмасы деп А жиынына тиісті және В жиынына тиісті емес элементтер жиынын айтады. А және В жиындарының айырмасын А\В символы арқылы белгілейді. Мысалы егер А={а, в, с, д, е}, В={д, е, к, л} болса, онда А\В = {а, в, с}болады.

А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары көмегімен кескіндесек, онда А\В жиыны (16-сурет) штрихталған бөлік болады.

Бір жиынды екінші бір жиынға дейін толықтыру ұғымын бастауыш кластарға натурал сандарды бірінен-бірі азайтудың негізі ретінде пайдаланады.

  

Кортеж

Жиынның әрбір элементі тек бір рет қана енетіні бізге белгілі. Сондықтан да, мысалы, «параллелограмм» деген сөздегі әріптер жиының былайша жазады: {п, а, р, л, е, о, г, м}. Бұл жерде элементтердің жазылуы маңызды роль атқармайды. Бірақ бұл сөзді қатесіз дұрыс жазу үшін оған енетін әріптерді ғана біліп қоймай, олардың жазылу ретін және де, мысалға, сөздің соңында «м» әріпімен екі рет жазылатының да білу керек. Міне осы жағдайда біз «параллелограмм» сөзіне енетін барлық әріптердің жиынтығымен жұмыс жасаймыз.

Осыған ұқсас мәселелер математикада да бар: 133211 санын жазу үшін бізге оның цифрларының жиыны, яғни {1, 3, 2} жиынымен қатар, ол санның жазылуындағы барлық цифрлар жиынтығын, олардың ретін білу керек. Бұл жиынтықта цифрлардың жазылу реті маңызды роль атқарады. Өйткені, мысалы, 133211 санындағы әрбір бірліктің мағынасы әр түрлі: бірінші бірлік қарастырылып отырған санда бір жүзмыңдықтың бар екенін, екінші бірлік осы санда бір ондықтаң, ал үшінші бірлік осы санда бір бірліктің бар екенін көрсетеді.

Математикада осындай жиынтақтарды кортеждер деп атайды. Машиналар кортежі, адамдар кортежі, сөздегі әріптер кортежі, санның цифрларының кортежі туралы айтуға болады.

Кортежге енетін, әрбір нәрсені компонент немесе координата деп атайды. Мысалы, 133211 саны цифрларының кортежі <1, 3, 3, 2, 1, 1> түрінде жазылады.

Кортеждің компонеттерінің саны оның ұзындығы деп аталады қарастырылып отырған кортеждің ұзындығы 6, ал «параллелограмм» сөзінің әріптері кортежінің ұзындығы 14-ке тең.

Екі <а₁, а₂, _…, а_m,> және 1, b₂, _…, а_n,> кортеждердің ұзындықтары тең, яғни m=n болса және бірінші кортеждің әрбір компоненті екінші кортеждің әрбір сәйкес компонентіне тең, яғни а₁= b₁, а₂= b ₂ ..., а_m= b_n болса, онда оларды тең кортеждер деп атайды. Мысалы, <а, b₁, с> және < а, b, с>, кортеждері тең кортеждер болып саналмайды.

Ұзындығы 2-ге тең кортеждерді реттелген жұптар немесе, қысқаша, жұптар, ұзындығы 3-ке тең кортеждерді үштіктер деп т. е. с. атайды. Сонымен қатар, ұзындықтары 1 және 0 болатын кортеждер де, қарастырылып, оларды <а> және < > арқылы белгілейді. Дегенмен, бірқатар есептерді шешу кортеж ұғымы мен байланысты болғандықтан, бұл ұғым пайдаланылады.

Мысалы, үшінші класта мынадай есепті шығарады: «1000001 саны қанша цифрмен жазылған?» Оқушылар бұл сурақтарға «1000001 саны 7 цифрмен жазылған, олардың ішінде әр түрлі екі цифр ғана бар, олар 0 және 1» деп жауап береді.

Осы жауаптың мағынасында бізге белгілі кортеж және жиын ұғымдары жатқанын көреміз. Шынында да, 1000 001 саны дегеміз цифрлардың <1, 0, 0, 0, 0, 1> кортежі, ал ол сан жеті цифрмен жазылған дегенде біз кортеждің ұзындығын айтып тұрмыз. Санның әр түрлі цифрлары туралы сұраққа жауап бергенде біз ол санның цифрларының жиыны, яғни {1, 0} жиыны туралы айтамыз.

Үшінші класта мына сияқты есептер де қарастырылады: 2, 0, 7 цифрларын пайдаланып: а) біртаңбалы үш сан; б) екі таңбалы төрт сан; в) жеті таңбалы бір сан жазыңыздар.

Бұл есепте шешу үшін 2, 0 және 7 цифрларынан әр түрлі кортеждер құру керек екені түсінікті. Атап айтқанда: а) ұзындығы 1-ге тең; б) ұзындығы 2-ге тең; в) ұзындығы 7-ге тең кортеждер құру керек.

Әрине б) және в) жағдайларында бірінші компоненттері нольге тең болатын кортеждер қарастырылмайды.

Қарастырылып отырған есептің а) жағдайының жауабы: 2, 0, 7 цифрларын пайдаланып бір таңбалы үш сан, яғни 0, 2, 7 сандарын жазуға болады (бұл жерде ұзындықтары 1-ге тең үш кортеж <0>, <2> және <7> болады).

Есептің б) сұрағына жауап бергенде оқушылар екі таңбалы төрт санның әр түрлі жиынтықтарын атаулары мүмкін. Мысалы, оқушылардың біреуі 20, 27, 72, 70 сандарын (яғни <2, 0>, <2, 7>, <7, 2>, <7, 0> кортеждерін), екіншісі -20, 22, 72, 77 сандарын, үшіншісі -22, 70, 27, 72 сандарын т. с. с. атауы мүмкін.

Соңғы жағдайда да оқушылардың жауаптары әр түрлі болады, яғни оқушылар 2777002 санын да, 7777777 санын да, 2000000 санын да т. с. с. атаулары мүмкін.

  Жұп ұғымын біз күнделікті сөзімізде жиі пайдаланамыз. Мысалы, бишілер жұбы, жұп ат, бір жұп етік, деп айта береміз. Жұп сөзі кездесетін сөз тіркестерінің тізімін жалғастыра беруге болады. Қазақ тілі сабағында мысалы, ²сөйлемдегі сөздер қос мағынамен байланысты² деп айтады.

Математикада жұп туралы сөз болғанда оны ұзындығы 2-ге тең кортеж деп түсінеміз. Егер жұптың компоненттері х және у болса, онда оны <х,у>түрінде жазады. Сонымен, жұп дегеніміз ұзындығы 2-ге тең кортеж. Бұл анықтамадан <х, у>¹<у, х> екенін, яғни <х, у>және <у, х>жұптары әр түрлі жұптар екенін көреміз. Компоненттері тең емес жұптармен қатар <х, х>түріндегі жұптар да қарастырылады.

Жұп ұғымымен мектеп математикасы курсында біз тік бұрышты координаталар жүйесін пайдаланғанда кездескенбіз. Бұл координаталар системасында әрбір нүктенің координаталары жұп сан болып табылады. Мысалы, А нүктесінің (17 -сурет) абсциссасы - 5-ке тең, ал ординатасы 3-ке тең, яғни А нүктесінің координаталары мынадай жұп сан болады: <-5, 3>.

 

Жиындардың декарттық көбейтіндісі

  Бізге Алматыдан және Астанадан, Стамбул, Москва және Пекин қалаларына барлық мүмкін маршруттардың жиынын құру керек болсын. Бұл маршруттар: Алматы-Стамбул, Алматы-Москва, Алматы-Пекин, Астана-Стамбул, Астана-Москва, Астана-Пекин.

Алматы және Астана қалаларынан тұратын жиынды Х арқылы, ал Стамбул, Москва, Пекин қалаларынан тұратын жиынды У арқылы белгілейік, яғни Х={Алматы, Астана}, У={Стамбул, Москва, Пекин}. Онда маршруттардың жиыны (18-сурет) бірінші компоненті Х жиынының, ал екінші компоненті У жиынының элементі болатын жұптардың жиыны екенін көреміз. Олай болса, маршруттардың жиынын былайша жазуға болады: {<Алматы-Стамбул>, <Алматы-Москва>, <Алматы-Пекин>, <Астана-Стамбул>, <Астана-Москва>, <Астана-Пекин>}.

Осылайша құрылған жұптар жиыны Х және У жиындарының декарттық көбейтіндісі деп аталады. Жалпы, Х және Ужиындарының декарттық көбейтіндісі деп бірінші компоненті хÎХ, ал екінші компоненті уÎУ болатын барлық <х, у>жұптарының жиынын айтады.

Х және У жиындарының декарттық көбейтіндісін Х´У арқылы белгілейді, яғни

Х´У={<х, у> ïхÎХ, уÎУ}.

Тағы да мысал келтірейік. Х={1, 2, 3, 4} және У={а, в, с} жиындарының декарттық көбейтіндісін табу керек болсын. Анықтамасы бойынша ол мынадай жұптардан тұрады: Х´У={<1, а>, <1, в>, <1, с>, <2, а>, <2, в>, <2, с>, <3, а>, <3, в>, <3, с>, <4, а>, <4, в>, <4, с>}.

Осы декарттық көбейтіндіні таблица арқылы жазған қолайлы:

Х´У жиынының әрбір элементі таблицаның сәйкес жолы мен бағанасының қиылысқан клеткасына жазылады. Олай болса, таблицаның клеткаларының жиыны Х={1, 2, 3, 4} және У={а, в, с} жиындарының декарттық көбейтіндісін береді екен.

әдебиеттер: [1], [2], [3]
&&&