Реферат тақырыбы «Кездейсоқ шамалар. Дискрептті кездейсоқ шамалар. Үзділіссіз кездейсоқ шамалар. Дискрептті кездейсоқ шаманың үлестірім заңы»

Анықтама.

Х дискретті кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп  оның мүмкін мәндерінің   олардың ықтималдықтарына   көбейтіндісінің қосындысы айтылады  (  немесе   ). Белгіленуі   немесе   :

.

 мәндері шексіз жиын болғанда соңғы теңдіктің оң жағындағы қатар абсолютті жинақты болады.

Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық үмітінің ықтималдық мағынасы: ол жуық шамамен көп тәжірибе нәтижесінде бақыланып отырған мәндердің арифметикалық ортасына тең (немесе сынақ сандары үлкейген сайын бақыланып отырған мәндердің арифметикалық ортасы математикалық үмітке жуықталады).

Расында, n сынақ жүргізілсін, онда   мәні   рет,   -   рет, т.с.с.   -   рет және де  . Онда кездейсоқ шаманың қабылдаған барлық мәндерінің арифметикалық ортасы:  . Бірақ   - бұл   мәнінің қатысты жиілігі, ол тәжірибе саны көбейген сайын   ықтималдығына ұмтылады, ал сондықтан арифметикалық орта математикалық үмітке ұмтылады:  .

Үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық үміті де осылай анықталады, тек қосынды интегралдаумен айырбасталынады.

Анықтама.

Мүмкін мәндері [a,b] кесіндісінде (немесе ) жататын, ал  үлестірім тығыздығы   болатын үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық үміті келесі формула бойынша есептелінеді:

 

 қасиеттері:

1)  ;

          2)  ;

3)  , мұндағы   айырымы кездейсоқ шаманың  математикалық үмітінен ауытқуы деп аталады.

4) кез келген   және   кездейсоқ шамалары үшін  .

5) Егер   және   тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса, онда  .

2 және 4 қасиеттері кез келген шектеулі кездейсоқ шамалар жағдайына  жалпыланады:

Бұл қасиеттерді дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамаларды анықтайтын формулаларға қойып оңай алуға болады ([1], 138-142 бет).

Тәуелсіз сынақтардағы оқиғаның пайда болу санынының математикалық үмітін анықтайтын формуланы білген пайдалы.

Теорема. Бір сынақта оқиғаның пайда болу санынының математикалық үміті  осы оқиғаның ықтималдығына тең; n тәуелсіз сынақтардағы оқиғаның пайда болу санынының математикалық үміті сынақ санының әрбір сынақта пайда болу ықтималдығына көбейтіндісіне тең.

Расында, егер бір сынақ жүргізіліп, онда оқиғаның пайда болу ықтималдығы  -ға тең болса, онда пайда болмау ықтималдығы  . Бұл кездейсоқ оқиғаның үлестірім заңы:

	0	1

Сондықтан математикалық үміт  ;

          Егер   – n тәуелсіз сынақтарда оқиғаның пайда болу саны және  - бірінші сынақта оқиғаның пайда болу саны,   - екіншіде, және т.б.,   -  n-ші   оқиғалардың пайда болу сандары  . Төртінші қасиет бойынша

          Теңдіктің оң жағындағы әрбір қосылғыш бір сынақтағы оқиғаның пайда болу санының математикалық үміті және  -ға тең. Сондықтан   .

          Дисперсия

          Кездейсоқ шаманың таралуының басты сипаттамасы дисперсия болып табылады.

          Анықтама.

            кездейсоқ шаманың дисперсиясы (белгіленуі  ) деп сол кездейсоқ шаманың  математикалық үмітінен ауытқуының квадратының математикалық үміті айтылады:  .

          Дискретті кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері   (  немесе  ), олардың  ықтималдықтары   болсын. Онда  дисперсия келесі формула бойынша есептелінеді:

  .

          Үзіліссіз кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері [a,b] (немесе  ) аралығында жатады, ал үлестірім тығыздығы   болса, дисперсия келесі формула бойынша есептелінеді:  . Бұл формулалар дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық үмітінің анықтамасынан шығады.

          Дисперсия есептеудің басқа қолайлы формуласы бар.

          Теорема. Дисперсия кездейсоқ шаманың квадратының математикалық үмітінің математикалық үміттің квадратының айырымына тең, яғни

.

          Расында,   тұрақты болғандықтан,    және   тұрақты болады. Сондықтан математикалық үміт қасиеті боынша:

=   .

          Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық үміт анықтамасынан соңғы формуланы басқаша жазамыз:

дискретті кездейсоқ шама үшін -  ;

үзіліссіз кездейсоқ шама үшін -  .

            қасиеттері:

          1)  ;

          2)  ;

          3)  ;

          4) Егер   – тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса,   .

          Қасиеттердің жалпылануы мен салдары:

а)   – тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса

  ,

мұндағы   - тұрақтылар;

б)  ;

в)  ,  .

Тәуелсіз сынақтардағы оқиғалардың пайда болу сандарының дисперсиясын математикалық үміт сияқты ерекше формула бойынша табуға болады:   – бір сынақта оқиғалардың пайда болу сандарының дисперсиясы;   –  n сынықта оқиғалардың пайда болу сандарының дисперсиясы ( – әрбір сынақтағы оқиғаның пайда болу ықтималдығы,  – пайда болмау ықтималдығы, n – сынақ саны).

Дисперсия кездейсоқ шаманың квадраты өлшеміне ие, салыстыру үшін сол өлшемді сейілудің сипаттамасын білу керек. Бұндай сипаттама орта квадраттық ауытқуда бар.

Анықтама.

Кездейсоқ шаманың орта квадраттық ауытқуы  немесе стандартты ауытқуы    (белгіленуі  ) деп оның дисперсиясының квадрат түбірі айтылады, яғни   .

Басқа сандық сипаттамалардың анықтамасы мен қасиеттері  ([1] 150-152 бет) берілген.