Решение уравнений в целых числах
жүктеу/скачать 100,62 Kb.
|
aksanova ii. olimpiadnye zadaniya.reshenie uravneniy v tselyh chislah
| 5. Разложение на множители.
Пример 5.1. Решить в целых числах уравнение x2 – xy – 2y2 = 7. Разложим левую часть на множители (x – 2y)(x + y) = 7. Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем: 1) x – 2y = 7, x + y = 1; 2) x – 2y = 1, x + y = 7; 3) x – 2y = –7, x + y = –1; 4) x – 2y = –1, x + y = –7. Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2). Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2). Пример 5.2. Решить уравнение в целых числах: х2 + 23 = у2 Решение. Перепишем уравнение в виде: у2 - х2 = 23, (у - х)(у + х) = 23 Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи: Решая полученные системы, находим: Ответ: (-11;12);(11;12);(11;-12);(-11;-12). Пример 5.3. Решить уравнение в целых числах y3 - x3 = 91. Решение. Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители: (y - x)(y2 + xy + x2) = 91 Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91 Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число y2 + yx + x2 ≥ y2 - 2|y||x| + x2 = (|y| - |x|)2 ≥ 0, следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение равносильно совокупности систем уравнений: ; ; ; Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют. Ответ: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3). Пример 5.4. Решить в целых числах уравнение x + y = xy. Решение. Перенесем все члены уравнения влево и к обеим частям полученного уравнения прибавим (–1) x + y – xy – 1 = – 1 Сгруппируем первое – четвертое и второе – третье слагаемые и вынесем общие множители, в результате получим уравнение: (x - 1)(y - 1) = 1 Произведение двух целых чисел может равняться 1 в том и только в том случае, когда оба этих числа равны или 1, или (–1). Записав соответствующие системы уравнений и, решив их, получим решение исходного уравнения. Ответ: (0,0) и (2,2). Пример 5.5. Доказать, что уравнение (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 30 не имеет решений в целых числах. Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение: (x - y)(y - z)(z - x) = 10 Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: целочисленных решений нет. жүктеу/скачать 100,62 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|