Практикалық сабақ 5-6 Тақырыбы:Сақиналар үшін изоморфизм теоремалары.
Студенттер мыналарды білуі тиіс:Сақинар үшін изоморфизм теоремаларын, бүтіндік облыстың қатынастар өрісі, евклидтік сақина, сақинаның келтірілетін және келтірілмейтін элементтері ұғымдарын, олардың мысалдарын, қасиеттерін. Студенттердің іскерлігі мен дағдылары:Сақинар үшін изоморфизм теоремаларын қолдануға, бүтіндік облыстың қатынастар өрісі, евклидтік сақина, сақинаның келтірілетін және келтірілмейтін элементтері ұғымдарына, олардың мысалдарына, қасиеттерінеқатысты әртүрлі есептерді шешу. Дәріс тақырыбы бойынша сұрақтар 1. Сақиналар үшін изомомрфизм теоремалары.
2. Бүтіндік облыстың қатынастар өрісі деген не?
3. Евклидтік сақина деген не?
4. Өріс туралы түсінік.
5. Өріске мысалдар келтіру.
6. Нақты сандар өрісі деген не?
7. Комплекс сандар өрісі деген не?
8. Өрістердің изоморфизмі.
9. Өрістің сипаттамасы.
Есептер шығару №№ 1 а), г), е), 2 а), в) есептерді шығару.
Үй тапсырмасы № 1б), в), д), ж), з), и) және №2 б), г) есептерді шығару.
Жаттығулар мен есептер №1. Келесі бейнелеулердің қайсылары көрсетілген сақиналардың гомоморфизмі болып табылады:
а)
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) ;
и)
Шешуі: а) Анықтама бойынша, сақиналар гомоморфизмі келесі шарттарды қанағаттандырады:
1) кезкелген
2) кезкелген
1) шартын тексерейік. және болғандықтан Демек, 1) шарт орындалады.
2) шартын тексерейік. және болғандықтан Демек, 2) шарт орындалады.
Сонымен, берілген бейнелеу сақиналар гомоморфизмі болады екен.
б) .
Шешуі:Анықтама бойынша, сақиналар гомоморфизмі келесі шарттарды қанағаттандырады:
1) кезкелген
2) кезкелген
Осы шарттардың орындалатынын тексереміз. 1) шартын тексерейік. және болғандықтан
Демек, 1) шарт орындалады.
2) шартын тексерейік. болғандықтан Сол сияқты . Олай болса, және Демек,
Олай болса, – берілген сақиналардың гомоморфизмі емес.
№2. Келесі сақиналардың изоморфты екенін көрсету керек:
а) және ;
б) және ;
в) және ;
г) және .
Шешуі: а) бейнелеуін қарастырайық. Осы бейнелеудің изомомрфизм екенін көрсету жеткілікті. Анықтама бойынша, сақиналар изоморфизмі келесі шарттарды қанағаттандырады:
1) кезкелген
2) кезкелген
3) – биективті (өзара бірмәнді) бейнелеу.
1) шартын тексерейік. және болғандықтан Демек, 1) шарт орындалады.
2) шартын тексерейік. және болғандықтан Демек, 2) шарт орындалады.
3) шартын тексерейік. бейнелеуінің образы Демек – сюръективті бейнелеу. Енді оның инъективті екенін көрсетейін. Кезкелген болсын. Онда , бұдан матрицалардың теңдігінің анықтамасы бойынша, Демек – инъективті бейнелеу. Олай болса, – биективті бейнелеу.
Сонымен, жоғарыдағы үш шартты қанағаттандыратын бейнелеуі табылды, олай болса, берілген екі сақина изоморфты болады.
