Гронуолл леммасы: Егер үзіліссіз функциялар
және болса онда . Дербес жағдайда, егер , онда . Гронуолл леммасына сай алатынымыз
(32)
Жоғарыдағы жағдайда .
Функционал өшімшесін есептейік
(33)
Мұндағы , , онда (33) теңсіздігін келесі түрде жазуға болады
(34)
Ендеше
демек (32) бағасын ескеріп (29) теңсіздігінен алатынымыз
(35)
Жоғарыдағы (34) - өрнектің екінші қосылғыштарын қарастырайық. Теореманың (23) - шарты бойынша , яғни
себебі . Осыдан - (22) дифференциалдық теңдеуінің
шешімі екендігін ескерсек:
Алынған өрнекті (34) теңдігінің оң жағына қойсақ:
(36)
функциясы х бойынша үзіліссіз дифференциалданады, ендеше ақырлы өсімшелер формуласынан:
