Сабақ тақырыбы : Стохастика элементтерін қолданып есептер шығару

Мамандық: «Бастауыш білім беру»

ХХ ғасырдың 70-жылдарының соңынан бүгінгі күнге дейін  қолданбалы математиканың  маңызды бөлімдерінің бірі стохастика адам қызметінің  барлық саласына кеңінен енуімен сипатталады.  Ықтималдықтар  теориясы мен математикалық статистиканың элементтерін байланыстыратын    бұл ғылым физика, химия, биология, экология, геология, география, экономика,  лингвистика, психология т.с.с. білімнің  барлық  салаларында  қолданыс табуда.

Б.Паскаль, Я.Бернулли, П.Лаплас тағы басқа ғалымдардың  еңбектерінің  нәтижесінде өмірге келген ықтималдықтар  теориясы  адам өмірінің  әлеуметтік-мәдени, білім беру,  ғылыми-өндірістік саласындағы  кез-келген мәселені шешуде қолданылатын статистика ғылымының математикалық негізі болып табылады. Бұл мектеп курсында ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика  негізінің  оқытылуының өзектілігін  айқындайды.

Қазіргі мектептерді  реформалау  мектептегі математикалық білімнің  мазмұнының өзгеруіне және математиканы оқыту әдістемесінде  ықтималдық-статистиканы енгізудің қажеттілігінің  мазмұнды-әдістемелік  жағына  көңіл бөлуге әкелді.

Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистиканы  оқытудың  негізгі мақсаттары  мынадай:

-          өмірдегі нақты  құбылыстарды  дәл сипаттайтын  стохастикалық  модельдерін құру және зерттеу арқылы ықтималдықтар теориясы және математикалық  статистика элементтерімен  таныстыру.

-          Ықтималдықтар теориясы  және математикалық статистика  курсы бойынша есептер шығаруда ықтималдықтық-статистикалық  аспектісінің  «қолданбалық» ойлау дағдысын  дамыту.

-          Ықтималдықтар теориясы аппараттарын қолдану негізінде  оқушылардың математикалық  мәдениеттілігін көтеру.

Ықтималдықтар теориясының  математикалық аппараты  оқушыларда қалыптасқан  элементар математикалық білімге,  дағдыға,  ептілікке  негізделгенін  атап көрсетуге болады. Бұл кезеңде  оқушылар нақты  сандарға арифметикалық амалдар орындауды, функциялық символикаларды байыптап қолдануды, элементар геометриялық  объектілер туралы түсінік қалыптасып, оларға  операциялар жасауды біледі.

Сондықтан ықтималдықтар  теориясы оқушыларға алған математикалық  білімін нақты қолданатын,  адам өмірінде маңызы зор  математиканың бір тарауы ретінде  қарастырылады.

Сыныптың бейінділігіне  байланысты «Ықтималдықтар  теориясы және  математикалық статистика элементтері» тақырыбының  оқытылуының  математикалық абстракциялану  деңгейі әртүрлі  болуы мүмкін.

Ықтималдықтар теориясының  негізгі ұғымдары «оқиға», «ықтималдық» және «кездейсоқ».

Ықтималдықтар теориясында  «оқиға» ұғымы теориялық-жиын түсінігімен  тікелей  байланысты. Дербес жағдайда, анықтама бойынша  «оқиға» деп элементар нәтижелер жиынының ішкі жиыны қарастырылады.

Сондықтан, бұл ұғымның  анықтамасын нақты  беру үшін, оқушылар жиындар теориясының  элементтерімен, ықтималдықтар теориясының  теориялық негіздерімен  таныс болуы тиіс.

Жиындар теориясын оқыту мектеп курсында  қарастырылмағандықтан, бұл мәселені шешу  мұғалімнен үлкен әдістемелік  шеберлікті  талап етеді.  Бастауыш мектептің  математикасының  экспериментальды курсын  қолдану  осы мәселенің бір шешімі болып табылады.  Бастауыш мектепте  жиын ұғымы   интуитивті  түрде  қарастырылып,  жиындарға қолданылатын амалдар мен олардың  қасиеттері иллюстративтік (көрнекі) әдіс  арқылы  беріледі. 9-сыныптың «Алгебра» оқулығында  «Ықтималдықтар теориясы элементтері» тарауы «жиын ұғымы» тақырыпшасынан басталады. Мұнда жиын ұғымына қысқаша түсінік  беріліп,  ішкі жиын, тең жиындар, шектеулі,  шектеусіз жиындарға  анықтама беріледі.

Жиындарға қолданылатын бірігуі, қиылысуы, айырымы амалдарына анықтама беріліп, белгілеулері ұсынылады. Жиындарға қолданылатын  амалдарды Эйлер-Венн  диаграммасы  арқылы  иллюстрациялаудың  оқушы үшін маңызы зор. Сонымен қатар шектеулі жиындар  үшін қосу, көбейту ережелерін  меңгеру  ықтималдықтар  теориясының элементтерін  оқуға үлкен  ғылыми-әдістемелік даярлық болады. Осы ұғымдардың негізінде  оқиға, оқиғаларға амалдар қолдану және  олардың  қасиеттері  тақырыптарын  оқыту  мәселесі жеңілдетіледі.

Олай болмаған жағдайда  мұғалім  оқушыларды  алдын-ала  жиындар  теориясының  мәліметтерімен  таныстыру арқылы бұл мәселені  шешуде  әдістемелік  тұрғыдан орынды.  Ықтималдықтар теориясының  негізгі ұғымдарын оқытуда логикалық  тұрғыдан  қамтамасыз ету  ерекше  екенін атап айтуға болады. Мұнда  жиындар теориясының қажетті  ұғымдарының  базасында (негізінде)  ықтималдықтар теориясының  негізгі ұғымдары  енгізіледі.  «Оқиға» ұғымын  оқыту оқушыларда  психологиялық  тұрғыдан  қиындықтар туғызады.  Себебі  оқушылар  үшін «оқиға» ұғымы «тәжірибе» ұғымымен  пара-пар.

«Оқиға» ұғымының қалыптасуы қарапайым ықтималдықтық модельдері  қарастырудан басталады.  Мысалы, тенгені  лақтырсақ,  ол жоғары көтеріліп барып  жерге түседі.  Бұл әрекет сынақ немесе тәжірибе деп аталады. Теңгенің «елтаңба»  немесе «цифр»  жағының  жоғары қарап түсуі  оқиға болады. Дәл осылайша, ойын сүйегін лақтыру, урнадан шар алу, нысананы дәлдеп ату - интуитивті денгейде «элементар тәжірибелер»  ұғымын қалыптастырады. Бұл мысалдардан оқушылар оқиғаны  тәжірибенің нәтижесі  екенін, ал оқиға туғызу үшін  тәжірибе, сынақ жүргізу керек екенін аңғарады. Оқушыларға  оқиғалардың  түрлетін – ақиқат оқиға,  мүмкін емес оқиға, үйлесімді, үйлесімсіз оқиғалардың анықтамасын түсіндіруде  күнделікті тұрмысымыздағы  көптеген  құбылыстардан  мысалдар келтіру  тиімді. Қарастырылған  мысалдардың  негізінде  қос-қостан  үйлеспейтін  және  тең мүмкіндікті  элементар оқиғалардың  жиыны ретінде «оқиғаның толық группасы» ұғымы қарастырылады. Осы ұғымдардың барлығы ықтималдық теориясының маңызды ұғымы «оқиға» ұғымының  анықтамасын тұжырымдауға мүмкіндік береді. Орындалу мүмкіндігіне қарай оқиғаларды классификациялаудың оқушылар үшін  дүниетанымдық  маңызы зор. Бізді қоршаған ортада  ақиқат, мүмкін емес және  кездейсоқ оқиғалардан  басқа  оқиғалардың  болмайтынын түсіндіру қоршаған ортаның  ықтималдық моделіне  сүйенеді. Мұндай модельдердің мысалдары физика, химия, география, биология, тарих т.б. пәндерден алынып, пәнаралық  байланыс жүзеге асырылады.

Оқиғаларды классификациялаудың  негізінде «ықтималдық» ұғымының  қалыптасуы  жатыр.  Егер  бір нақты оқиғаның  орындалуының  мүмкін немесе  мүмкін еместігіне  қандай да бір сандық  мән сәйкес қойсақ, атап айтқанда әрбір ақиқат оқиғаға  1 санын, ал  мүмкін емес  оқиғаға 0 санын сәйкес қойсақ, онда  әрбір кездейсоқ оқиғаға (0;1) интервалынан  бір нақты сан сәйкес келетіні  түсінікті. Оқиғаның ықтималдығынан бұрын оқушыларға «оқиғаларға амалдар қолдану»  тақырыбын  өткен дұрыс.  Бұл тақырыпта  олар оқиғалардың  арасындағы қатынасты, байланысты, қарама-қайшылықты меңгереді. Оқиғалар арасындағы қамту қатынасы (А В) мынандай сөз тіркестерімен  анықталады: «А оқиғаның  орындалуы В оқиғасын тудырады», «В оқиғасы А оқиғасының  бөлігі болады». Осы  қатынастың негізінде  тең оқиғалардың  анықтамасын  логикалық  түрде беруге  болады. Оқиғалар арасындағы қатынас пен амалдарды  Эйлер-Венн  диаграммалары арқылы  көрнекі  түрде  қолдану керек.

Оқушылар теориялық жиын туралы түсініктерінің негізінде  жиындарға және оқиғаларға  қолданылатын амалдарды салыстырады.  Оқиғалар мен жиындарға  қолданылатын амалдардың  анықтамаларындағы  айырмашылық тек терминде ғана екеніне  көз жеткізуге болады.  Сондықтан жиындар теориясы мен ықтималдықтар теориясының терминдерінің сәйкестік таблицасын  құру пайдалы.

Оқиғаларға амалдар қолдану  және  амалдардың  қасиеттерін  меңгеру  оқушыларда ықтималдықтар теориясы курсының есептерін шығару  дағдысын қалыптастыруда  маңызы зор.

Ықтималдықтар теориясындағы тағы бір маңызды мәселе – элементар  оқиғаларға  амалдар қолдану  нәтижесінде алынатын күрделі оқиға.

Егер мүмкін емес оқиғаға  құр жиынды  , ал ақиқат оқиғаға  U  жиынын сәйкес қойсақ, онда жиын теориясының теңбе-теңдіктерін ықтималдықтар  теориясы  тілінде  тұжырымдауға болады. Мысалы, кез келген  А оқиғасы  үшін А  U=А, А = ,  А  U = , А =А, А А=А, А А=А, А , А =   теңдіктері ақиқат. Бұл  теңдіктердің дәлелдеуін көрнекі түрде  иллюстрациялап, мағыналы мысалдар келтіру арқылы  түсіндіру  қажет.  Сонымен қатар, оқушыларға жаттығу  жұмысы  ретінде  U , U , U \ ,  \ U өрнектерінің нәтижесін анықтауды ұсынуға болады.

Оқиғаларға  қолданылатын  амалдарды  оқытқанда  сол амалдың  мағынасын ғана анықтамай, оның басқа амалдардан айырмашылығын көрсететін мысалдарды көрнекі түрде  қолдану керек. Оқушылар анықтамасы бойынша оқиғалардың  қосуы мен көбейтіндісін  оңай құрады.

Осы материалға қосымша  оқушыларды да Морган заңымен  таныстыру қызықты болады. 

,    теңдіктерін Эйлер-Венн диаграммалары  арқылы көрсету жеткілікті. Бұл заңды  қарама-қарсы оқиғаны оқытуда  қолдануға болады.

Оқиғаларға қолданылатын амалдардан кейін комбинаторика  элементтерімен  таныстырған дұрыс.

«Комбинаторика элементтері» тақырыбы теориялық және қолданбалық  тұрғыдан кең мағыналы болғандықтан «Ықтималдықтар теориясы»  тақырыбынан бұрын  да оқытуға болады.

Ықтималдықтар теориясының  келесі негізгі  ұғымы – ықтималдық. Бұл ұғымның да қалыптасуы «оқиға» ұғымын қалыптастырудағыдай  жүргізіледі.

Қазіргі кезде  «оқиға ықтималдығының» статистикалық, аксиомалық, классикалық, субъективтік анықтамалары белгілі. Мектеп курсында оқиға ықтималдығының статистикалық  анықтамасы беріледі.

Кездейсоқ оқиғаның  бір тәжірибе нәтижесінде пайда болатынын, немесе пайда болмайтынын алдын ала білу мүмкін болмағанымен, тәжірибені бірнеше рет  қайталау барысында  оның  орындалуының  белгілі бір заңдылығын байқауға болады. Бұл заңдылық оқушыларға таблица  арқылы  көрсетіліп, статистикалық тәсіл деп аталады.

Мектеп оқулығында «оқиғаның ықтималдығы дегеніміз  - оқиғаның пайда болу мүмкіндігін  білдіретін сан»  деген анықтама беріледі.  Осы санды анықтау үшін  «салыстырмалы жиілік» ұғымы енгізіледі.  Қандай да бір  тәжірибе n рет қайталансын. Сонда қарастырылып отырған  А оқиғасы m рет  орындалсын.   санын  А оқиғасының  салыстырмалы жиілігі деп  атайды.

«Салыстырмалы жиілік»  анықтамасын меңгеріп, осы ұғымды  қалыптастыру үшін өмірден, өнеркәсіпбен, физика, химия, биология пәндерінен  оқушыларға  белгілі мысалдар  қарастыру қажет.

Мұндай мысалдарда  қайталанған  тәжірибе саны  n=5, n=10, n=15 т.с.с болып келеді. Осындай аз  көлемдегі ақырлы санды  тәжірибелер  барысында  А оқиғасының  орындалу  саны  m-ді  есептеуге болады. Сонан соң  оқиғаның салыстырмалы жиілігі    санын табамыз. Осы ұғымды  меңгергеннен  кейін  тәжірибе саны  n өте үлкен  болатын жағдайды  қарастырамыз. Мысал  ретінде өнеркәсіп орнының  өндірілген өнімінің  сапасын  тексеру нәтижесінің кестесін құрайық.

Оқиға анықтамасын  салыстырмалы жиілік  арқылы бергеннен  кейін,  оның  мынандай  қасиеттерін  оқушылар  жеңіл меңгереді.

1.   n рет  тәжірибе  жүргізгенде  А оқиғасының  орындалу саны    болғандықтан  салыстырмалы жиілік    арақатынасын қанағаттандырады. Сондықтан   болады,  яғни  оқиғаның  ықтималдығы сегментіндегі  кез келген  нақты  санға тең бола алады.

2. n рет  тәжірибе  жүргізгенде  ақиқат оқиға m=n рет  орындалады.  Сондықтан  оның ықтималдығы Р(U)=1.

3.   Дәл осылайша, мүмкін емес  оқиғаның ықтималдығы 0-ге тең екенін оқушы тез меңгереді.

4.   Кездейсоқ  оқиғаның  ықтималдығын  анықтағанда, тәжірибе қаншалықты көп жүргізілсе, оқиғаның жиілігі оның ықтималдығына  соншалықты  жақындайтынын мысалдар арқылы  статистикалық тұрғыдан  түсіндіру қажет.