Математикалық күтім, дисперсия ұғымдары бойынша оқушылармен эвристикалық әңгіме Анықтама. Дискретті кездейсоқ шама -тің математикалық күтімі деп оның барлық мүмкін мәндерін сәй-кес ықтималдықтарына көбейтілген қосындысын айтамыз.
Мысал. Бернулли схемасы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық күтімін анықтау керек.
Шешуі. Бернулли схемасында биномдық үлестіру
,
болатын. Олай болса, анықтама бойынша
, яғни,
.
Сонымен, келесі теорема дәлелденді.
Теорема. тәуелсіз тәжірибелердің әрқайсысындағы оқиғаның көріну ықтималдығы тұрақты, оқиғасының көріну санының математикалық күтімі : .
Теорема. тәуелсіз тәжірибелердің әрқайсысындағы оқиғаның көріну ықтималдығы тұрақты, А оқиғасының көріну санының дисперсиясы: .
Дәлелдеуі: Биномдық заңмен үлестірілген кездейсоқ шамасы, тәуелсіз сынақтар нәтижесінде орындалуы , ал орындалмауы болатын оқиғасының саны. і –і сынағындағы оқиғасының саны. екі мән қабылдайды: 1-ді ықтималдығымен ( оқиғасы орындалса), 0-ді ықтималдығымен(А оқиғасы орындалмаса). Онда
М(X2)=12· p + 02· q = p D(Xі) = M(Хі2) – M2(Xі) = p – p2 = p (1 – p) = pq. X=X1 + X2 + … + Xn және Хі – тәуелсіз кездейсоқ шамалар, онда
D(X)= D(X1 + X2 + … + Xn) = D(X1) +D( X2 )+ … +D( Xn)= npq. Жоғарыда қарастырылған 2-ші мысал үшін сандық сипаттамаларын табайық:
Шешуі: n=3, p=0,6; q=1-0,6=0,4.
