Теорема 1. Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі үшбұрыштың орта перпендикулярының қиылысу нүктесі болады.
Д әлелдеуі:
Айталық, АВС –берілген үшбұрыш және О – оған сырттай сызылған шеңбердің центрі болсын. ОАС үшбұрышы теңбүйірлі: оның ОА мен ОС қабырғалары радиустар болғандықтан тең. Бұл үшбұрыштың медианасы оның биіктігі де болып табылады. Сондықтан шеңбердің центрі АС қабырғасына перпендикуляр әрі оның ортасынан өтетін түзудің бойында жатады. Дәл осылайша шеңбердің центрі үшбұрыштың қалған екі қабырғасының да орта перпендикулярында жататыны дәлелденеді. Теорема дәлелденді.
Анықтама. Үшбұрыштың барлық қабырғаларын жанайтын шеңбер осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер деп аталады.
Теорема 2. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер центрі үшбұрыш биссектрисаларының қиылысу нүктесі болады.
