Сабақтың тақырыбы Бернулли теоремасы Педагог Ажибеков Нуржан Пәні

Бөлім меңгерушісі : Жусупбекова М

Педагог: Ажибеков Н

Бернулли теоремасы

 Егер Р әрбір тәжірибе жүргізгендегі А оқиғасының пайда болу ықтималдығы және кездейсоқ шамасы А оқиғасының n рет тәжірибе жүргізгендегі пайда болу саны m болса, онда кез келген  саны үшін

 n сынақ жүргізілді, оның  екі нәтижесі ғана бар: A оқиғасы пайда болады және A оқиғасы пайда болмайды. Бұл сынақтар A оқиғасына қарағанда тәуелсіз, яғни әрбір сынақта A оқиғасының пайда болу ықтималдығы басқа сынақтың нәтижесінен тәуелсіз. Әрбір сынақта A оқиғасының пайда болу ықтималдығы бірдей немесе әртүрлі болуы мүмкін. Сынақтарды жүргізу шарттары бірдей болатын жағдайларды қарастырайық, сондықтан  әрбір сынақта A оқиғасы пайда болуы бірдей. Ол  санына тең болсын, онда  – A оқиғасының пайда болмау ықтималдығы. Сынақтардың мұндай тізбегі Бернулли сұлбасы деп аталады.

Келесі болжам жасайық: n сынақта A оқиғасының k рет пайда болуы әртүрлі тізбекте (ретте) жүргізіледі. В күрделі оқиғасының бір жағдайын қарастырайық: A оқиғасы k сынақта пайда болды, ал қалған (n-k) сынақта пайда болмайды, яғни .  A және  оқиғалары тәуелсіз. Сондықтан көбейту теоремасы бойынша

  = .

 оқиғасына ұқсас оқиға:  оқиғасы k сынақта пайда болатын, ал қалған (n-k) сынақта пайда болмайтын жағдайлар саны n-нен k бойынша теруге тең, яғни .  Бұл оқиғалардың барлығы тәуелсіз, ал берілген оқиға олардың қосындысына тең. Сондықтан қосу теоремасы бойынша

= .

 формуласы Бернулли формуласы деп аталады.

          Бернулли формуласымен n сынақта  A оқиғасы k  рет пайда болуының ықтималдығын ғана емес, сонымен бірге n сынақта  A оқиғасы k реттен кем емес, (яғни  k немесе k+1, …, немесе n рет, белгіленуі ) және k реттен артық емес (яғни 0 немесе 1,…, немесе k  рет, белгіленуі ) :

  = ; = .

          Бернулли формуласымен n үлкен (n>10), ал р өте аз шама болғанда көп есептеулерді талап етеді. Бұл жағдайда  ықтималдығын есептеу үшін жуықтап есептеу формулалары қолданылады.