k санынан кем барлық натурал сандар бір ғана түрде жай көбейткіштерге жіктелсін. Бұл жағдайда жіктелудің біреуі ғана болатыны туралы теорема ақиқат. Егер k құрама сан болса, онда ол k – дан өзгеше ең болмағанда бір р санына бөлінеді.
Басқа сөбен айтқанда k санының кез келген жай көбейткіштерге жіктелуі k= р*q2…qm түрінде болады. Мұндағы q2…qm – көбейтіндісі санының жай көбейткіштерге жіктелуі –саны бірден артық k – дан кем натурал сан болғандықтан ұйғарым бойынша оның жай көбейткіштерге жіктелуі бір ғана түрде болады. Математикалық индукция әдісі бойынша тұжырым дәлелденді.
Келесі тұжырымды математикалық индукция әдісімен дәлелделік.
Егер n натурал сан болса, онда n²- n саны жұп. Дәлелдеу. n=1 болса, онда тұжырым ақиқат. Өйткені 1²-1=0 – жұп сан. Енді k²- k жұп сан болса. Сондай-ақ (k+1)²-( k+1)= 2k – жұп сан, ендеше (k+1)2-(k+1) жұп сан. Сонымен, n²- n айырмасының жұптылығы n=1 үшін дәлелдедік, k²- k жұптылығын (k+1)2-(k+1)-жұп екені қорытылды. Демек, n²- n айырмасы n санының барлық натурал мәнінде жұп.
Дәл осы сияқты n³ -n айырмасы 3-ке бөлінеді. Ол үшін ((k+1)³- (k+1))- (k³-k) = 3k³+3k санының 3-ке бөлінетінін пайдаланамыз.
Қарастырған мысалдардан nm- n айырмасы әрқашан m-ге бөлінеді деп тұжырым жасаймыз. Мысалы m=4, n=3 болғанда. 34-3=78 саны 4-ке бөлінеді. Егер m=5 болса nm- n айырмасы 5-ке бөлінеді. Сонымен, біз қарастырған мысалдарда 2,3,5 жай сандар, сондықтан жоғарыдағы гипотезаны дәлірек тұжырымдайық.
Егер р жай сан болса, ал n кез келген бүтін сан болса онда np- n өрнегі р-ға бөлінеді, мұндағы р-жай сан. Бұл тұжырым Ферманың кіші теоремасы деп аталады. n саны р-ге бөлінетін болса, теореманың дұрыстығы бірден көрініп тұр.
Достарыңызбен бөлісу: |
