«Сандық әдістер»
-дәріс тақырыбы: Қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін шектік есептер. Ақырлы – айырымдық әдістер
жүктеу/скачать 34,89 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 2-ретті дифференциалдық теңдеу берілсін.
| 11-дәріс тақырыбы: Қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін шектік есептер. Ақырлы – айырымдық әдістер.
1. Ақырлы – айырымдық әдіс. 2. Қуалау әдісі.
F(x,y,y’,y’’ )=0 (1) 2-ретті дифференциалдық теңдеу берілсін.Біз осыған дейінгі есептерде Коши есебі деп дифференциалдық теңдеуге қосымша функцияның бір тәуелсіз айнымалыдағы мәні берілген жағдайды айтып жүрдік. Ал функцияның екі тәуелсіз айнымалыдағы мәндері берілсе, есепті ҚДТ үшін шектік есеп деп айтады. Қосымша шарттарды шекаралық шарттар дейді. Коши есебінде тәуелсіз айнымалы ретінде уақытты қарастырғанбыз, сонда есептің физикалық мағынасы серіппеге ілінген дененің еркін қозғалысын зерттеу болған. Ал шектік есепте тәуелсіз айнымалы ретінде ұзындық қарастырылады, яғни есептің физикалық мағынасы қатты серіппенің деформациясын зерттеу немесе, электр желілерін басқару, есептеу, химиялық реакциялардың нәтижелерін есептеу, снаряд қозғалысының теңдеуін құру сияқты практикада қарапайым классикалық әдістермен шешілмейтін «қатты» есептерді зерттеу болып табылады. (1) теңдеу үшін екінүктелі шектік есеп келесідей қойлады: [a,b] аралығында (1) теңдеуін және осы аралықтың екі шеткі нүктелерінде 1[y(a), y /(a)]=0 (2) 2[y(b),y /(b)]=0 шекаралық шарттарын қанағаттандыратын y=y(x) шешімін табу керек. (1) теңдеу және (2)- шекаралық шарт сызықты болған жағдайды қарастырайық. Мұндай шектік есептер сызықты шектік есептер деп аталады және төмендегідей түрде жазылады: y // +p(x) y / + q(x) y = f(x) (3)  (4)
мұндағы p(x), q(x), f(x) – функциялары [a,b] аралығында үзіліссіз функциялар, ал 0,1,0,1, A,B –берілген тұрақтылар және 0+10, 010. Егер A=B=0 болса, онда (4) – шекаралық шарттар біртекті шекаралық шарттар деп аталады. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін қойылған шектік есепті шешудің жалпы 2 әдісі бар: Дифференциалдық теңдеудің ақырлы – айырымдық немесе шектік – айырымдық түрін қолдану – сандық әдіс. Шектік есепті бірнеше Коши есебін шешуге келтіру аналитикалық әдіс. 1. Ақырлы – айырымдық әдіс. Бұл әдістің негізгі идеясы - шектік есепті шешуді алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге келтіру. Берілген аралықты бірнеше бөлікке бөлу арқылы бірдей қашықтықта орналасқан түйіндер жүйесін құрамыз: x0=a, xn=b, xi=x0+ih (i=1,2,…,n-1), қадамы h=b-a/n және pi=p(xi), qi=q(xi), fi=f(xi) болсын. xi түйіндерінде ізделінді функцияның жуық мәнін y(x) және y /(x) ,y //(x) туындыларын сәйкесінше yi ,yi/ ,yi // деп белгілейік. Құрылған түйіндер жүйесінің әрбір ішкі түйінінде yi/(xi), yi//(xi) туындыларын сәйкес ақырлы – айырымдық қатынастарымен алмастырамыз:  (5)
Шекаралық шарттар үшін: жүктеу/скачать 34,89 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|