Сандық ҚҰрылғылардың математикалық негіздері 1 Санау жүйесі 3



жүктеу/скачать 1,72 Mb.
бет1/8
Дата05.12.2023
өлшемі1,72 Mb.
#195052
  1   2   3   4   5   6   7   8
Байланысты:
Ай




Содержание



КІРІСПЕ 2
1САНДЫҚ ҚҰРЫЛҒЫЛАРДЫҢ МАТЕМАТИКАЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ 3
1.1 Санау жүйесі 3
1.2 Логика алгебрасы 6
1.3 Логика алгебрасының тепе теңдігімен теоремалары 8
1.4 Логикалық функцияларды тапсырма ретінде беру тәсілдері 10
1.5 Қарапайым логикалық функциялар 11
1.6 Логикалық функцияларды таныстыру тәсілдері 15
1.7 Логикалық функцияларды кішірейту 19
1.8 сурет- Карно картасы 20
2 ТИПТІ КОМБИНАЦИЯЛЫ ҚҰРЫЛҒЫ 26
2.1 Жалпы ережелер 26
2.2 Мультиплексорлар 26
2.3 Шифрлаушылар 30
2.3. Дешифрлаушылар 34
2.4. Демультиплексорлар 37
2.5 Цифрлы (санды) компараторлар. 39
2.6 Сумматорлар 41
2.7 Азайтқыш 42
3 ТРИГГЕРЛЕР 46
3.1 Жалпы түсінектемелер 46
3.2 Асинхронді RS-триггері 47
3.4 Синхронді RS-триггер 50
3.5 Статикалық D-триггері 51
3.6 Динамикалық D-триггер 52
3.7 сүрет JK-триггері 54
4. РЕГИСТРЛЕР 58
4.1 Жалпы ереже 58
4.2 Параллельді регистр 59
5. САНАҒЫШТАР 63
5.1 Жалпы түсініктеме 63
5.2 Санағыштарды құру сызбасы. 65
5.3 Есептеу модулі ерікті санауыштар 71



КІРІСПЕ



1САНДЫҚ ҚҰРЫЛҒЫЛАРДЫҢ МАТЕМАТИКАЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ




1.1 Санау жүйесі




Символдардың шектеулі жинақтау көмегімен сандар жазу ережелер жиынтығы санау жүйесі деп аталады. Санау жуйелері позиционды және позиционды емес болып болінеді. Позиционды емес жүйеге римдіктер санды белгілеу үшін қолданған жүйе мысал бола алады.
Позиционды санау жүйесінде қолданылатын символдар саны жүйе негізіне тең. Әр символдың салмағы (маңыздылығы) жүйе негізіне бөлінеді және жазылған санда берілген символдың алынатын позициясына тәуелді. Символ позициясының нөмірін разряд деп атайды.
Позиционды санау жүйесі түрлі арифметикалық операцияларды (қосу, азайту, көбейту, бөлу) орындауға ыңғайлы, сондықтан ол сандық және есептеу техникасында негіз болып табылады.
Жалпы жағдайда n-разрядті жағымды N саныпозиционды санау жүйесінде негізімен мына өрнекпен көрсетіледі


(1.1)

мұнда ak – қолданылатын жүйенің символдарының бірі, оның мәндері натурал қатарлы мүшелерге 0ден (р – 1)ге дейін диапазонда тең, р – санақ жүйесінің негізі, k – сандағы символ позициясының нөмірі, 0ден бастап, p k – салмақтық коэффициент.


Өндіріс электрониканың, микропроцессорлы техниканың және автоматиканың сандық құрылғыларында жиі позиционды санау жүйелерімен 2, 10, 16 негізінде жұмыс істейді.
Ақпаратты сандық және микропроцессорлі құрылғыларда өңдеу позиционды екілік санау жүйесінде (2 негізінде) жүргізіледі.
Екілік санды басқа санау жүйесінде көрсетілген сандардан айыру үшін , оны оң жақтан В (Binaire) жұрнағымен толықтырады, немесе 2 индексімен қамтамасыз етеді.
Екілік санды шағынырақ күйде көрсету үшін жиі оналтылық позиционды санау жүйесі қолданылады.Бұл жүйеде бірінші он натурал қатардағы 0ден 9ға дейін мүшелері, және бірінші алты латын әріптер Адан Fқа дейін (A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15) қолданылады. Оналтылық санды басқа санау жүйесінде көрсетілген сандардан айыру үшін , оны оң жақтан Н (Hexadecima) жұрнағымен толықтырады, немесе 16 индексімен қамтамасыз етеді.
Әртүрлі санақ жүйелерінің сандар сәйкестігі 1.1 кестесінде көрсетілген

1.1 кесте - Әртүрлі санақ жүйелерінің сандар сәйкестігі



Ондық сан

Оналтылық сан

Екілік сан

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F

0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111

Позиционды санақ жүйелерінде толық сандарды жүйеден қандай да негізбен ондық жүйеге аудару (1.1) формула бойынша орындалады. Мысалы 1010112 екілік санын ондық санға түрлендіру 1.1 формуласына формальді мән енгізгенде болады


1010112 = 1·2 5 + 0·2 4 + 1·2 3 + 0·2 2 + 1·2 1 + 1·2 0 =


=1·32 + 0·16 + 1·8 +0·4 + 1·2 + 1·1 = 32 + 8 + 2 + 1 = 4310

Қандайда позиционды жүйеден сандарды ондық жүйеге аудару үшін “салмақты коэффициент” ұғымын қолдану ыңғайлы. (1.1) формуласынан және де келтірілген мысалдан алғанда ондық эквивалентте өрнектелген екілік санның салмақ коэффициенттері 2 k – 1…, 32, 16, 8, 4, 2, 1 сандар ретін көрсетеді.


Екілік санды ондыққа аударғанда, мәні 1-ге тең разрядтарда салмақтық коэффициент қалыптасады. Мысалы, 1010112 екілік санын ондыққа аударғанда, екілік сандардың разрядтарына сай ондық салмақтық коэффициентін қойғанда мұндай нәтиже аламыз:
32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 1 1

Бірлік 0,1,3,5 разрядтарында болады (разрядтар санағы кішісінен, нөлден басталады),сондықтан 0,1,3,5, немсе 1 + 2 + 8 + 32 = 43 разрядтарының салмақты коэффициенттері пайда болады.


Аударманы жеңілдету үшін жатқа 2n n = 0ден n = 14ке дейінсандарының ондық мәндерін білу қажет. Бұл мәндер 1.2 кестесінде көрсетілген.

1.2 кесте - Екілік сан разрядтарының салмақтық коэффициенттері



n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

2 n

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

8192

16384

Сандарды ондық жүйеден басқа позиционды жүйеге аудару ондық санды осы жүйенің негізіне келесіретті бөлу жолымен іске асырылады.Аударым нәтижесі бөлу процессінде алынған және ең соңғысынан бастап жазылған қалдықтар болады.Алынған санның үлкен разряды соңғы болү нәтижесі болады.


43 ондық санын екілікке аудару мысалы:
43 |_2__
_42_ 21 |_2__
1 _20 10 |_2__
1 _10_ 5 |_2__
0 _ 4_ 2 |_2_
1 _2_ 1
0

Аударма нәтижесі: 43 10 = 101011 2


43 ондық санын оналтылыққа аудару мысалы:
43 |_16_
_ 32_ 2
11
Аударма нәтижесі:43 10 = 2В 16 ,өйткені 1110 = В16,
Он алтылық жүйе екілік сандарды кішігірім көрсетуге мүмкіндік береді. Он алтылық жүйеден екілік жүйеге (немесе керісінше) аударым ондық жүйеден екілікке аударғанға қарағанда оңай да тез.
Аударымда екілік санды кіші разрядтан бастап тетрадтарға (4 разрядтардан тұратын топтар) бөледі. Үлкен топты керегінше екілік сан алдына нөл жазып тетрадаға дейін толтырады. Алынған тетрадаларды он алтылық сандарының разрядтарын көрсетеді, сондықтан аударымда екілік тетрада он алтылық санымен ауыстырылады (0000 2 016ға сай, … 1111 2 F16ғасай). Екілік тетрадалармен он алтылық сандардың сәйкестігі 1.1 кестесінде көрсетілген.
Екілік санды он алтылыққа аудару мысалы:

101011 2 = 0010 1011 2 = 2В 16.


2 16 В 16.

өйткені 0010 2 = 2 16, ал 1011 2 = В 16.


Қайта өту аналогті түрде іске асады – он алтылық санның әр бір разряды оған эквивалентті екілік тетрадамен ауыстырылады.
Позиционды санау жүйелерімен қатар өндіріс электрониканың, микропроцессорлі техниканың, және автоматиканың сандық құрылғыларында позиционды емес жүйемен кодтар қолданылады.Жиі екілі- ондық және унитарлы жүйе көп қолданылады.
Екілі-ондық санау жүйесінде сан төрт разрядты екілік комбинацияның (тетрадалардың) келесіретін көрсетеді, оның саны эквивалентті ондық санының разряд санына тең. Әрбір екілік тетрада ондық санының бір разрядыныңекілік эквиваленті болып табылады. Екілік тетрада мен ондық сандардың сәйкестігі 1.1 кестесінде көрсетілген.Тетраданың сандық мәні 9дан (ондық эквивалентте) көп бола алмайтынын айта кету керек. Егер екілі- ондық санды тетрадалар арасында қалдырады, ал толмаған үлкен тетраданы нөлдермен толтырады.
Екілі-ондық санды басқа санау жүйедегі саннан айыру үшін оны оң жағынан BD (Binary Decimals) жұрнағымен толықтырады, немесе 2-10 индексімен қамтамасыз етеді.
Екілік санды ондыққа аудару мысалые:

101001 2-10 = 0010 1001 2-10 = 29 10


2 10 9 10.

өйткені 0010 2 = 2 10, а 1001 2 = 9 10.


Қайта өту аналогті түрде іске асады – ондық санның әр бір разряды оған эквивалентті екілік тетрадамен ауыстырылады.
Унитарлы жүйеде 1символы үнемі тек бір позицияда болады, ал қалған позицияларда 0 болады. 1 саны бар позиция нөмері (0ден бастап унитарлы санының ондық эквиваленті болып табылады. Нөлінші нөмір оң жақтағы шеткі.
Унитарлы (сегіз разряд үшін) және ондық санау жүйелерінің сан сәйкестігі 1.3кестесінде көрсетілген.

1.3 кесте - Унитарлы және ондық санау жүйелерінің сан сәйкестігі



Ондық сан

Унитарлы сан

0
1
2
3
4
5
6
7

00000001
00000010
00000100
00001000
00010000
00100000
01000000
10000000


1.2 Логика алгебрасы


Сандық құрылғылардың іс әрекетін бейнелейтін математикалық аппарат логика алгебрасында немесе оның басқа атауы ағылшын математигі Джордж Булдің атында бульді алгебра деп атайды.


Математикалық логиканың негізін салған неміс математигі Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716 жж.). Ол универсалды тіл салуға қадам жасаған , соның көмегімен адамдар арасындағы бәсекелесті есеппен шешуге болушы еді. Лейбниц салған негізде ирлан математигі Джордж Буль (1815-1864 жж.) математикалық логиканың- жаңа ғылым мекемесін салған, ол жай алгебрадан айырмашылығы санмен емес сараптамамен оперирлейді.
Сараптама – бұл қандайда бір тұжырым, соған қатыст немесе жалған, сондай-ақ шындыққа сай ма екенін айтуға болады.
Осымен, сараптама бойынша екілік объект болып табылады, сондықтан сараптаманың шындық мәніне – 1-ге сай, ал жалған мәніне – 0 қояды.
Сараптамалар жай және күрделі болады. Жай сараптамалар алгебраикалық айнымалыларға сай, ал күрделілер алгебраикалық функцияның аналогы болып табылады. Функцияларды айнымалыларды қосу жолымен логикалық іс әрекет көмегімен алуға болады.
Техникалық жүйелерді анализдеу үшінлогика алгебрасын қолдануды көсеткен П.С. Эренфест (1910 ж.), ал 1938 ж. К. Шеннон Буль алгебрасын релелі сұлбаларын есептеуге қолданған. Осы уақытта логика алгебрасының математикалық аппарат сандық құрылғыларды жобалаудың негізі болып табылады.
Логика алгебрасы екілік айнымалымен оперирлейді, олар шартты белгіленеді, 0 және 1 сияқты. Айнымалыларды белгілеу үшін латын алфавитінің әріптері қолданылады. Алдымызда айнымалыларды белгілеу үшін Х әрпі индексімен, 1ден бастап айнымалының белгіленген нөмірі қолданылады. Функция үшін f (ν) мәні алынған, мұнда ν = (Х n , …, Х 1) айнымалылар жиынтығы. Айнымалылар шексіз көп болуы мүмкін, бірақ айнымалы комбинациялар саныжиынтықта үнемі 2 n ге тең
n айнымалыларының функциялары жиын айнымалыларының (Х n , …, Х 1)бәріне тәуелді емес, оларды туынды деп атайды. Барлық айнымалылар жиын (Х n , …, Х 1) комбинациялары мәні берілген n айнымалыларының функциясытолық анықталған деп аталады. Егер де бір айнымалы жиынының е функция мәні берілмесе, онда ол толық анықталмаған функция болып табылады. Толық анықталмаған функцияны керегінше анықтап, бұл жағдайда оған керек мән беру қажет.
Логика алгебрасының негізінде келесі аксиомалар бар:
Х = 0, если Х ≠ 1
Х = 1, если Х ≠ 0 ,
аксиома айнымалымен функция тек екі мән қабылдай алатынын анықтайды; _
0 = 1
_
1 = 0,

аксиома терістеу операциясын (инверсия) анықтайды;


0 ∙ 0 = 0


0 ∙ 1 = 0
1 ∙ 0 = 0
1 ∙ 1 = 1,

аксиома коньюнкция операциясын (логикалық көбейту) анықтайды;


0  0 = 0


0  1 = 1
1  0 = 1
1  1 = 1,

аксиома дизьюнкция операциясын (логикалық қосу) анықтайды;




1.3 Логика алгебрасының тепе теңдігімен теоремалары


Логика алгебрасының тепе теңдігі мен теоремалары функция өрнегін жеңілдету үшін қолданылады. Тепе теңдік теоремаларды дәлелдегенде қолданылады. Теоремалармен тепе теңдіктер логика алгебрасында оның аксиомаларын қолданылуымен айнымалылардың барлық мәндерін жинау әдісімен дәлелденеді.


Практикалық мәнде мынадай тепе теңдік болады:





Логикалық функцияларға мынадай заңдар қолданылады:
коммутативті (орын ауыстыратын)

Х 2  Х 1 = Х 1  Х 2 Х 2 ∙ Х 1 = Х 1 ∙ Х 2 ,


ассоциативті (сай келетін)


(Х 3  Х 2)  Х 1 = Х 3  (Х 2  Х 1) (Х 3 ∙Х 2) ∙ Х 1 = Х 3 ∙ (Х 2 ∙ Х 1)


дистрибутивті


Х 3 ∙ ( Х 2  Х 1 ) = Х 3 ∙ Х 2  Х 3 ∙ Х 1


Х 3  ( Х 2 ∙ Х 1 ) = ( Х 3  Х 2 ) ∙ (Х 3  Х 1 ) ,

екі рет терісті







В Логика алгебрасында жақша өрнегінде жоқ болса келесі ретті әрекеттер енгізіледі: бірінші болып терістеу операциялары орындалады, соңынан – конъюнкцияның, кейін – дизъюнкция орындалады. Бар болса бірінші жақша ішіндегі операциялар орындалуы тиіс.
Заң мен теоремаларды дәлелдеу үщін қолданылатын тепетеңдіктерді дистрибутивті заңды сақтау дәлелдеу мысалында көреміз Х 3  ( Х 2 ∙ Х 1 ) = ( Х 3  Х 2 ) ∙ (Х 3  Х 1 ). Оң жақтағы жақшаны ашқан соң мына мәнді шығарамыз:
Х 3 ∙ Х 3  Х 3 ∙Х 1  Х 3 ∙Х 2  Х 2 ∙Х 1 . Одан соң мына тепе теңдікті қолданамыз . Х 3  Х 3 ∙Х 1  Х 3 ∙Х 2  Х 2 ∙Х 1. Тепе теңдікті қолданамыз Х 3 ∙ 1  Х 3 ∙Х 1  Х 3 ∙Х 2  Х 2 ∙Х 1 Жақша сыртына шығарамызХ 3 Х 3 ( 1  Х 1 )  Х 3 ∙Х 2  Х 2 ∙Х 1. Тепе теңдікті қолданамыз Х 3 ∙ 1  Х 3 ∙Х 2  Х 2 ∙Х 1. Жақша сыртына қайта шығарамыз Х 3. Х 3 (1  Х 2 )  Х 2 ∙Х 1. Тепе теңдікті қайта қолданамыз . Х 3 ∙ 1  Х 2 ∙Х 1. Тепе теңдікті қайта қолданамыз . Х 3  Х 2 ∙Х 1. Алынған өрнек шығысты қатынастың сол жағымен сәйкес келеді. Сонымен, дистрибутивті заңның шындығы дәлелденді.
Логика алгебрасында негізгі орынды Шеннон құрған екіліктің заңы алады. Бұл заң әрбір функцияның инверсиясын анықтайды және мұндай түрде беріледі:


,


мұнда , . Сонымен, егер функциядағы өрнекте айнымалысын оның инверсиясымен ауыстырса және керісіншеде, дизъюнкциямен конъюнкция операцияларын қарым-қатынаста ауыстырса әрбір функцияның инверсиясын алуға болады. Мысалға, егер
онда

Тәжірибеде қолданғанда екілік заңының жеке жағдайы болады – де Морган теоремасы:





Немесе тәжірибеде қолдануға ыңғайлырақ түрде





де Морган теоремасы тәжірибеде берілген базиске функцияны аудару үшін, сондай-ақ керек жағдайда дизъюнкция операциясын конъюнкцияға немесе керісінше ауыстыруға қолданылады. Мысалы өрнегінің құрамында тек дизъюнкция операциялары болуы керек. де Морган ережесін қолданған соң шығады. де Морган теоремасын айнымалылардың үлкен санына да таратуға болады.


1.4 Логикалық функцияларды тапсырма ретінде беру тәсілдері


Логикалық функцияларды әр түрлі тәсілдермен беруге болады: ауызша, ақиқат кестесімен, аналитикалық өрнекпен, шартты графикалық белгілер қолдана отырып. Әрбір нақты жағдайда ең ыңғайлы тәсіл қолданады.


Логикалық функцияны базалық тәсілмен беру ақиқат кестесі болып табылады. Ақиқат кестесінде айнымалы мәндерінің комбинациялары және оларға сай функция мәндері беріледі.
Ақиқат кестесі өзіне жолақ нөмірімен бір қатар қосады (ол міндетті түрде қажет емес, болмауыда болады),қатарлар айнымалылармен (олардың саны айнымалылардың санына тең), қатарлар функциялармен (олардың саны логикалық функциялардың шығысына тең). Толық ақиқат кестесінің құрамында 2 n жолақтары болады, мұнда n айнымалылар саны. Ақиқат кестесінде жолақтар нөлден бастап нөмірленеді.
Айнымалылар комбинацияларын ақиқат кестесінде қалаған ретте орналастыруға болады, бірақ келесі жүйеге сүйенген жөн. Үлкен айнымалы үлкен индекспен белгіленіп, сол жақ шеткі қатарда орналасады, қалғандары үлкеннен бастап азаю ретімен орналасады.Айнымалы мәндерінің комбинациясы жолақта екілік кодта жол нөмірін өрнектеу керек. Кестеде жолақтар монотонды өсу ретімен орналастырады, нөлден бастап. Мұндай ережелер ақиқат кестесін қатесіз толтырып және онымен жұмыс істеуді жеңілдетеді. Осы ережелермен толтырылған үш айнымалы үшін произволды функцияның ақиқат кестесі 1.1суретінде көсетілген.



Жол нөмірі

Айнымалылар

Функция

Х 3

Х 2

Х 1

f (ν)

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

2

0

1

0

1

3

0

1

1

1

4

1

0

0

0

5

1

0

1

0

6

1

1

0

1

7

1

1

1

0

1.1сурет Үш айнымалы үшін ақиқат кестесі
Келтірілген кесте бойынша жай, жылдам қатесіз айнымалылардың мәндерімен толтыру: бірінші қатарда айнымалылар бірден кейін кезектесіп отырады (0-1-0-1 т.с.с.), екінші қатарда екі реттен кейін (00-11-00 т.с.с.), үшіншіде төрттен кейін (0000-1111-0000 т.с.с.), төртіншіде сегізден кейін кезектесіп отырады. Келесі үлкен айнымалыға кезектесу дәрежесі екі еселенеді.
Функцияны сөзбен бейнелеуде қандай жағдайда функция 1- ге тең болғанын өрнектеу керек.


1.5 Қарапайым логикалық функциялар


Бір немесе екі айнымалылардың функцияларын қарапайым логикалық функциясы деп атайды.Функцияның әр түрлі мәндерінің саны 2 m ге тең, мұнда m 2 n ге тең (n –айнымалылар саны). Сонымен, бір айнымалы үшін функция саны– 4, ал екі айнымалы үшін – 16. Олардың бәрінде атауы бар және 1.4 пен 1.5 кестесінде көрсетілген.


1.4 кесте - Бір айнымалының функциялары



Х

0

1

Аналитикалық өрнек

Функция атауы

f (ν) 1

0

0

0

Тұрақты 0

f (ν) 2

0

1

Х

Қайталану Х

f (ν) 3

1

0



Терістеу Х

f (ν) 4

1

1

1

Тұрақты 1

1.5 кесте - Екі айнымалының функциялары



Х 1

0

1

0

1

Аналитикалық өрнек

Название функции

Х 2

0

0

1

1

f (ν) 1

0

0

0

0

0

Тұрақты 0

f (ν) 2

0

0

0

1

Х 2 ∙ Х 1

Конъюнкция

f (ν) 3

0

0

1

0

Х 2 Х 1

Х 1 бойынша тыйым салу

f (ν) 4

0

0

1

1

Х 2

Х 2 тепе- теңдігі

f (ν) 5

0

1

0

0

Х 2 Х 1

Х 2 бойынша тыйым салу

f (ν) 6

0

1

0

1

Х 1

Х 2 тепе- теңдігі

f (ν) 7

0

1

1

0

Х 2  Х 1

Теңсіздік

f (ν) 8

0

1

1

1

Х 2  Х 1

Дизъюнкция

f (ν) 9

1

0

0

0

Х 2 ↓ Х 1

Пирс нұсқары

f (ν) 10

1

0

0

1

Х 2  Х 1

Теңдік

f (ν) 11

1

0

1

0



Терістеу Х 1

f (ν) 12

1

0

1

1

Х 2  Х 1

Импликация Х 2 ден Х 1 ге

f (ν) 13

1

1

0

0



Терістеу Х 2

f (ν) 14

1

1

0

1

Х 1  Х 2

Импликация Х 1 ден Х 2 ге

f (ν) 15

1

1

1

0

Х 2  Х 1

Шеффер штрихы

f (ν) 16

1

1

1

1

1

Тұрақты 1

Тәжірибеде бір немесе екі айнымалы функцияларының бәрі қолданылмайды.Күрделі сызбаны іске асыру үшін бір екеуі ғана жеткілікті.


Одан басқа, бір функцияларды басқа функция арқылы тепе- теңдік және логика алгебрасының теорема ережелерін қолданып өрнектеуге болады. Интегралды орындауда іске асырылған және микропроцессормен микроконтроллерді бағдарламалау тілінде бар қарапайым функцияларды қарастырайық.
Терістеу ( инверсия, НЕ функциясы). Айнымалылардың үстіне сызықша белгіленеді. Ақиқат кестесі, аналитикалық өрнекпен шартты графиклық бейнелеу 1.2 суретінде көрсетілген.



Жол нөмірі

Х

f (ν)

0

0

1

1

1

0


1.2 сурет

Сөзбен бейнелеу: функция инверсті (қарама- қарсы)айнымалы мәнін қабылдайды.


Конъюнкция ( логикалық көбейту, И функциясы). Айнымалылар арасында ∙ символымен белгіленеді ( сондай да & және  символдары қолданылады ). Ақиқат кестесі, аналитикалық өрнекпен шартты графиклық бейнелеу 1.3 суретінде көрсетілген.

Жол нөмірі

Х 2

Х 1

f (ν)

0

0

0

0

1

0

1

0

2

1

0

0

3

1

1

1



f (ν) = Х 2 ∙ Х 1

1.3 сурет


Сөзбен бейнелеу: функция бірлік мәнді егер барлық айнымалылар бірге тең болса қабылдайды.


Дизъюнкция ( логикалық қосу, ИЛИ функциясы). Айнымалылар арасында  символымен белгіленеді ( сондай да + символы қолданылады). Ақиқат кестесі, аналитикалық өрнекпен шартты графиклық бейнелеу 1.4суретінде көрсетілген.



Жол нөмірі

Х 2

Х 1

f (ν)

0

0

0

0

1

0

1

1

2

1

0

1

3

1

1

1



f (ν) = Х 2  Х 1
1.4 сурет
Сөзбен бейнелеу: функция бірлік мәнді бір айнымалы бірге тең болса қабылдайды.

Конъюнкция терістеумен ( логикалық көбейту терістеумен, И- НЕ функциясы Айнымалылар арасында ∙ символымен белгіленеді, өрнек үстіне сызықша қойылады (сондай да & және  символдары қолданылады Ақиқат кестесі, аналитикалық өрнекпен шартты графиклық бейнелеу 1.5 суретінде көрсетілген.



Жол нөмірі

Х 2

Х 1

f (ν)

0

0

0

1

1

0

1

1

2

1

0

1

3

1

1

0



f (ν) = Х 2 ∙ Х 1
1.5 сурет

Сөзбен бейнелеу: функция бірлік мәнді, егер бір айнымалы нөлге тең болса қабылдайды.


Дизъюнкция терістеумен (логикалық қосу терістеумен, ИЛИ-НЕ функциясы). Айнымалылар арасында  символымен белгіленеді, өрнек үстіне сызықша қойылады ( сондай да + символы қолданылады). Ақиқат кестесі, аналитикалық өрнекпен шартты графиклық бейнелеу 1.6 суретінде көрсетілген.

Жол нөмірі

Х 2

Х 1

f (ν)

0

0

0

1

1

0

1

0

2

1

0

0

3

1

1

0





f (ν) = Х 2  Х 1
1.6 сурет
Сөзбен бейнелеу: функция бірлік мәнді тек барлық айнымалылар нқлге тең болғанда қабылдайды.
Теңсіздік ( исключающее ИЛИ ). Айнымалылар арасында  символымен белгіленеді. Ақиқат кестесі, аналитикалық өрнекпен шартты графиклық бейнелеу 1.7 суретінде көрсетілген.

Жол нөмірі

Х 2

Х 1

f (ν)

0

0

0

0

1

0

1

1

2

1

0

1

3

1

1

0



f (ν) = Х 2  Х 1
1.7 сурет

Сөзбен бейнелеу: функция бірлік мәнді тек бір айнымалы бірге тең болғанда қабылдайды. Екі айнымалы үшін (бірақ екеуі үшін) осы функция модуль бойынша сомма екі математикалық операциясын көрсетеді.




1.6 Логикалық функцияларды таныстыру тәсілдері


Функцияның аналитикалық өрнегін ақиқат кестесінен құрауға болады. Осы процессті формальдау үшін кейбір ұғымдарды енгізү керек.


Элементар (қарапайым) конъюнкция ондағы әрбір терістеумен айнымалы немесе терістеусіз бірден көп емес кезігетін болып табылады. Айнымалылар тобының терістеуі болмайды.
Мысалы:
, ,

Элементар (қарапайым) дизъюнкция ондағы әрбір терістеумен айнымалы немесе терістеусіз бірден көп емес кезігетін болып табылады. Айнымалылар тобының терістеуі болмайды.


Мысалы:
,

Минтерм (бірліктің конституенттісі) дегеніміз осы жағдайда барлық қолданылатын айнымалыларды қамтитын элементар конъюнкция.


Мысалы, егер үш айнымалы қолданса, онда конъюнкция минтерм болып табылады
, ,
бірақ конъюнкциялар
,
минтермдер болып табылмайды.
Минтерм 1-ге тең тек айнымалылардың бір комбинациялары үшін.

Минтерм К i символымен белгіленеді, мұндағы i - индекс, ол бірмәнде минтермнің (конъюнкциямен) аналитикалық өрнегімен тепе- тең болады. Минтерм индексін біле отырып, оның аналитикалық өрнегін анықтауға немесе керісінше болады.


Егер минтерм индексі берілсе, онда ол екілік кодта жазылады. Сонан соң әрбір разрядында 1 инверсиясыз айнымалымен, ал 0 инверсиясы бар айнымалылармен ауыстырылады. Ауыстырғанда айнымалылардың үлкендігі екілік код разрядтарының үлкендігіне (позицияларға) сай болуы керек.
Мысалы, үш айнымалы үшін К6 минтермінің аналитикалық өренгін алуымыз қажет. Айнымалыларда Х3, Х2, Х1 мәндері бар. .Нөмірі неғұрлым көп болса, соғұрлым айнымалы да үлкен болады.
Берілген минтерм индексі - 6. 6 санының екілік кодтағы түрі 110. Үлкен разряд солжақтағы біріншісі. Минтерм аналитикалық өренгінде Х3 және Х2 айнымалылар инверсиясыз болады, ал Х1 айнымалысы инверсиямен болады.
Минтерм аналитикалық өрнекті анықтау үшін келесі алгоритмді қолдануға болады. Айнымалылар үлкендік ретімен жазылады, ал олардың астына 6 санының екілі коды үлкен позициясын сақтаумен жазылады:
Х3 Х2 Х1
1 1 0

Астында 0 тұрған айнымалылар инверсиясы бар минтермнің аналитикалық өрнегіне кіреді. Сонымен минтерм аналитикалық өрнегі 6 индексімен үш айнымалы үшін:


К 6 =


Егер минтермнің аналитикалық өрнегі берілсе, онда осы өрнекте айнымалылар инверсиясыз 1 мен, ал инверсиямен айнымалылар 0 мен ауыстырылады. Алынған өрнек екілік кодта минтерм индексі болып табылады. Екілік сан ондыққа ауыстырылады.


Мысалы, минтерм индексін анықтау керек. Х3 айнымалы инверсиямен, ол 1 мен ауыстырылады, қалған айнымалылар 0 мен с инверсией ауыстырылады.
Минтерм индексін анықтау үшін келесі алгоритмді қолдануға болады. Минтерм жазылады, және осы минтермнің әр айнымалының астында 0 немесе 1 жазылады, инверсиямен бе жоқ па, соған байланысты.



0 1 1 0112 = 3

Алынған минтерм астындағы екілік сан ондыққа аударылады. Сонымен минтерм индексі - 3.


Макстерм ( нөлдің конституенттісі) дегеніміз осы жағдайда барлық қолданылатын айнымалыларды қамтитын элементар дизъюнкция.


Мысалы, егер үш айнымалы қолданса, онда дизъюнкция макстерм болып табылады


, ,
бірақ дизъюнкциялар
,
макстермдер болып табылмайды.
Макстерм 0-ге тең тек айнымалылардың бір комбинациялары үшін.
Макстерм Мi символымен белгіленеді, мұндағы i - индекс, ол бірмәнде макстермнің (дизъюнкциямен) аналитикалық өрнегімен тепе-тең болады. Макстерм индексін біле отырып, оның аналитикалық өрнегін анықтауға немесе керісінше болады.
Егер макстерм индексі берілсе, онда ол екілік кодта жазылады. Сонан соң әрбір разрядында 1 инверсиясыз айнымалымен, ал 0 инверсиясы бар айнымалылармен ауыстырылады. Ауыстырғанда айнымалылардың үлкендігі екілік код разрядтарының үлкендігіне (позицияларға) сай болуы керек. Мысалы, үш айнымалы үшін М6 макстермнің аналитикалық өрнегін алуымыз қажет. Айнымалыларда Х3, Х2, Х1 мәндері бар. . Нөмірі неғұрлым көп болса, соғұрлым айнымалы да үлкен болады.
Берілген макстерм индексі - 6. 6 санының екілік кодтағы түрі 110. Үлкен разряд солжақтағы біріншісі. Макстерм аналитикалық өренгінде Х3 және Х2 айнымалылар инверсиямен болады, ал Х1 айнымалысы инверсиясыз болады.
Макстерм аналитикалық өрнекті анықтау үшін келесі алгоритмді қолдануға болады. Айнымалылар үлкендік ретімен жазылады, ал олардың астына 6 санының екілі коды үлкен позициясын сақтаумен жазылады:
Х3 Х2 Х1
1 1 0

Астында 1 тұрған айнымалылар инверсиясы бар макстермнің аналитикалық өрнегіне кіреді. Сонымен макстерм аналитикалық өрнегі 6 индексімен үш айнымалы үшін:


М 6 =

Егер макстермнің аналитикалық өрнегі берілсе, онда осы өрнекте айнымалылар инверсиясыз 0 мен, ал инверсиямен айнымалылар 1 мен ауыстырылады. Алынған өрнек екілік кодта макстерм индексі болып табылады. Екілік сан ондыққа ауыстырылады.


Мысалы, макстерм индексін анықтау керек. Х3 айнымалы инверсиямен, ол 1 мен ауыстырылады, қалған айнымалылар 0 мен с инверсией ауыстырылады.
Макстерм индексін анықтау үшін келесі алгоритмді қолдануға болады. Макстерм жазылады, және осы макстермнің әр айнымалының астында 0 немесе 1 жазылады, инверсиямен бе жоқ па, соған байланысты.

1 0 0 1002 = 4

Алынған макстерм астындағы екілік сан ондыққа аударылады. Сонымен макстерм индексі - 4.


Бір және сол логикалық функция әр түрлі эквивалентті формада көрсетілуі мүмкін.
Егер функция жай конъюнкцияның дизъюнкция түрінде көрсетілсе, онда мұндай форма дизъюнктивті нормальді форма (ДНФ) деп аталады.
Мысалы:

Егер функция жай дизъюнкцияның конъюнкция түрінде көрсетілсе, онда мұндай форма конъюнктивті нормальді форма (КНФ) деп аталады.


Мысалы:

Әр бір логикалық функция днф және кнф түрінде бірнеше көрсетілімде болуы мүмкін.


Минтермдер дизъюнкция түрінде функцияны көрсету формасы жетілдірілген дизъюнктивті нормальді форма (СДНФ) деп аталады.
Мысалы:

макстермдер конъюнкция түрінде функцияны көрсету формасы жетілдірілген конъюнктивті нормальді форма (СКНФ) деп аталады.


Мысалы:

ЖДНФ және ЖКНФ функцияларын бірлікте көрсету.
Әр бір функцияны днф пен кнф- те түрлендіруге болады, немесе ЖДНФ пен ЖКНФ- те алгебра логикасының аксиомаларымен теоремаларын қолдана отырып түрлендіруге болады.
Ақиқат кестесі бойынша логикалық функцияның аналитикалық өрнегі ЖДНФ немесе ЖКНФ- те құралады.
Функцияны ЖДНФ –те құрғанда ол минтермдердің дизъюнкциясы, оның арқасында функция 1-ге тең. Минтерм индекстері 1 бар жолақ нөмірлеріне сай.
Функцияны ЖКНФ - те құрғанда ол макстермдердің конъюнкциясы, оның арқасында функция 0-ге тең. Макстерм индекстері 0 бар жолақ нөмірлеріне сай.
Ақиқат кестесінде жолақ нөмірін екілік кодта осы жолақтағы айнымалы комбинацияларын өрнектейді. Тек айнымалылардың үлкендігіне және қатарлардың ақиқат кестесінде орналасуына сай болуы керек. Үлкен айнымалы сол жақ шеткі қатарда орналасуы керек.
Мысалы, логикалық функция келесі ақиқат кестесімен берілген:

1.6 кесте



Жол нөмірі

Переменные

Функция

Х 3

Х 2

Х 1

f (ν)

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

2

0

1

0

1

3

0

1

1

1

4

1

0

0

0

5

1

0

1

0

6

1

1

0

1

7

1

1

1

0

ЖДНФ-те логикалық функцияны жазу. Функция 1-ге төрт жағдайда тең, және функция өрнегі 4 минтерм қамтитын болады. Осы минтермдердің индекстері 1, 2, 3, 6, өйткені бірліктер осындай нөмірлері бар жолақтарда болады. Минтермдер үстінде көрсетілген ережелер бойынша жазылады. Нәтижесінде келесі өрнек шығады (минтерм үстіндегі сандар оның индексін екілік кодта өрнектейді, қандай айнымалылар инверсиямен, қайсылары инверсиясыз болуы керек екенін көрсетеді):





0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0



ЖКНФ-те логикалық функцияны жазу. Функция 0-ге төрт жағдайда тең, және функция өрнегі 4 макстерм қамтитын болады. Осы макстермдердің индекстері 0, 4, 5, 7, өйткені нөлдер осындай нөмірлері бар жолақтарда болады. Макстермдер үстінде көрсетілген ережелер бойынша жазылады. Нәтижесінде келесі өрнек шығады (макстерм үстіндегі сандар оның индексін екілік кодта өрнектейді, қандай айнымалылар инверсиямен, қайсылары инверсиясыз болуы керек екенін көрсетеді):



0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1





1.7 Логикалық функцияларды кішірейту


Ақиқат кестесі бойынша ЖДНФ немесе ЖКНФ-те құралған логикалық функцияның аналитикалық өрнегі молдық болып табылады. Көп жағдайларда оны жеңілдетуге болады. Өйткені функцияның шығыс өрнегіне эквивалентті, бірақ айнымалылар санын немесе операцияларды аз қамтитын мұндай аналитикалық өрнек табуға болады. Логикалық функцияның аналитикалық өрнегінде айнымалылар санын немесе операцияларды кішірейту процедурасы минимизация деп аталады.


Минимизацияның тәжірибелік мақсаты логикалық функцияны аппаратты іске асыру бойынша логикалық элементтерінің санын азайту, және жылдам істеу қабілетін көтеру, өлшемдерін кішірейту, жобаланатын логикалық сұлбада қуатты қолданумен бағасын азайту.
Минимизацияны әр түрлі тәсілдермен өткізуге болады. Айнымалылардың алты және одан кіші саны көзінше көбірек жіберу Карно картасын (Вейч диаграммалары) қолдану әдісін қамтиды.



1.8 сурет- Карно картасы


Карно картасы нақты ережелер бойынша құралған логикалық функцияның барлық мәндері енгізілген кестесін көрсетеді. Осымен, Карно картасы логикалық функцияның тапсыру тәсілдерінің бірі болып табылады. Карно картасының бейнелеу нұсқалары көп. Осы нұсқалардың бірі 1.8 суретінде көрсетілген екі айнымалы үшін а),үш айнымалы үшін б) төрт айнымалы үшін в). Карно картасының бейнелеуінің қай нұсқасымен қолдануының қағидалы мәні жоқ. Алдымызда 1.8 суретінде көрсетілген Карно карталары қолданылады, және студенттерге де оларды қолдану керек.


1.8 суретінде көрсетілген Карно картасында барлық айнымалылар (Xi) инверсиясыз аудандарда, сызықпен белгіленген. Сызықпен белгіленбеген аудандарда айнымалылар ( ) инверсиясымен болады. Мысалы, Х 3 айнымалы ауданына 4,5,6,7,12,13,14,15 клеткалар, ал ауданына 0,1,4,5,8,9,12,13 клеткалары жатады. Сонымен, 1.8 суретінде көрсетілген Карно картасында айнымалылар аудандары бар. Кіші айнымалы Х 1 деп белгіленеді, ал қалған айнымалылардың үлкендері сызба түрде, индекс ұлғаюымен өседі.
Карно картасының әр бір клеткасына нақты және бір минтермге (макстермге) сай. Минтерм индексі Карно картасының клетканың нөмірі болып табылады.
Карно картасы ақиқат кестесі бойынша немесе функцияның аналитикалық өрнегі бойынша толтырылады, оны кішірейту керек.
Егер функция ақиқат кестесі бойынша берілсе, онда Карно картасын толтыру реті келесі.
Ақиқат кестесінің жолағы алынып, осы жолаққа сай клеткасы бар айнымалылар ауданы анықталады. Содан соң Карно картасында бұл аудандар белгіленеді. Бір уақытта барлық белгіленген айнымалылардың аудандарында болатын клетка искомды болады(бір уақытта барлық белгіленген аудандарға жатады, оларға ортақ болып табылады). Табылған клеткаға алынған жолақтың айнымалылар комбинациясына сай функция мәндері қойылады. Осы процедура ақиқат кестесінің барлық жолақтарына қайталанады Карно картасын толық толтырғанға дейін.
Мысалы, 1.6 ақиқат кестесінің 3 жолағына сай Карно картасында клетка табу керек делік. Бұл жолақта келесі айнымалылардың мәндері бар: Х3 = 0, Х2 = 1 Х1 =1. Карно картасында (1.9сурет) аймақтары белгіленеді (инверсті мән өйткені Х3 = 0) – қызыл түспен (1аудан), Х2 - көк түспен (2 аудан), Х1 – жасыл түспен (3 аудан).Барлық үш аудандарға ортақ сары түспен белгіленген клетка болады. Осы клеткаға функция мәні енгізіледі. Қарастырылатын айнымалылар комбинациялары үшін ол 1-ге тең.

1.9 сурет




Егер функция аналитикалық өрнек бойынша берілсе, онда Карно картасын толтыру реті келесі. Ең бастапқысы функцияны дизъюнктивті нормальді формаға келтіреді, немесе инверсиялар тек бөлек айнымалылар үстінде тұратын формаға келтіруге болады. Мұны теоремалармен логика алгебрасының тепе- теңдігін қолдана отырып жасауға болады. Алынған өрнектің конъюнкциялары бір айнымалыдан бастап осы жағдайда қолданылатын айнымалыларды қамтиды. Алынған өрнектің конъюнкциясы- ол Карно картасының нақты клеткалар тобы, онда 1 болуы керек. Мұндай клеткалар тобы конъюнкцияны қарастыруына кіретін айнымалылар ауданының қиылысу аймағына кіреді (бір уақытта айнымалылар ауданына жатады). Бірліктерді орнату процедурасы берілген өрнектің барлық конъюнкцияларына қолданылады. Егер келе жатқан конъюнкция бойынша клеткада бірлік орнатылса, онда бірлік қалады.
Қ алған бірлік орнатылмаған клеткаларға нөлдер орнатады.
Мысалы, Карно картасын ƒ(ν) = өрнегі үшін толтвру қажет. Осы өрнекке күрделі конъюнкция кіреді . Оған де Морган ережесін қолдана отырып = аламыз. Дизъюнктивті нормальді формада берілген функция мынандай түрде болады ƒ(ν) = және үш конъюнкциядан тұрады. Бірінші конъюнкция өзіне бір айнымалыны қосады, содан, бірліктер ауданына жататын клеткаларда орнатылады. Осы конъюнкция үшін Карно картасы 1 орнатылымымен 1.10 а) суретінде көрсетілген. Екінші конъюнкция өзіне екі айнымалы қосады: пен , содан, бірліктер бір уақытта пен аудандарына жататын (аудандар қиылысында жатады) клеткаларда орнатылады. Осы конъюнкция үшін Карно картасы 1 орнатылымымен 1.10 б) суретінде көрсетілген. Үшінші конъюнкция өзіне ш айнымалы қосады: , , , содан, бірліктер бір уақытта , пен аудандарына жататын (аудандар қиылысында жатады) клеткаларда орнатылады. Осы конъюнкция үшін Карно картасы 1 орнатылымымен 1.10 в) суретінде көрсетілген.

1.10 сурет
Осы үш Карно карталарын бір біріне салғанда 1.11а) суретінде көрсетілген карта шығады. Қалған бос клеткаларға 0- ді қойғаннан соң, 1.11б) суретінде көрсетілген толық толтырылған Карно картасы шығады.



1.11 сурет


Карно картасын толтырғаннан кейін кішірейту басталады. Кішірейту процессінде 1 (немесе 0) қамитын барлық клеткалар топтарға біріктірілуі керек.


Топтарға 1 (немесе 0) қамтитын және тікбұрыш немесе квадрат құрайтын көрші клеткалар біріктіріледі. Топ 2 n клеткалар қамту керек (n = 0, 1, 2, 3 ж т.с.с), басқаша айтқанда 1, 2, 4, 8, 16 және т.с.с клеткалар. Топтар неғұрлым аз болуына тырысу керек, осыған жету үшін әр бір топқа клеткалардың максималды болымды санын қосу керек. Топтарды құру процессі барлық клеткалар топқа біріктірілмегенінше жалғасады.басқалармен біріктіруге болмайтын 1мен (немесе 0мен ) клеткалар, 1 клеткалар санымен топ құады. Сол бір клетка бірнеше топқа кіруі мүмкін.
Көрші клеткаларын анықтағанда Карно картасын көлденеңмен тігімен рулонға орауға болады. Карно картасында 1.8в) суретінде мысалы, көрші клеткалар 2 мен 10 болады; 1, 5, 9 бен 13; сондай ақ 0, 4, 8 бен 12!
Клеткаларды біріктіру теңмәнді нұсқалар бірнеше болуы мүмкін.
Кішірейтілген функцияны дизъюнктивті нормальді формада (ДНФ) немесе конъюнктивті нормальді формада (КНФ) жазады. Жиі ДНФ қолданылады. ДНФ- те клеткаларды бірліктермен біріктіргенде кішірейтілген функция түрі:



клеткаларды нөлдермен біріктіргенде:




,

мұнда Сi – i – ші топ үшін конъюнкция; m – топтар саны.


Конъюнкция өрнегіне инверсиямен инверсиясыз айнымалылар (бірақ бір уақытта емес) ауданында i – ші бүтін болатын топ кіреді.
Топ бүтіндей болатын аудандарды анықтау үшін келесі алгоритм ұсынуға болады.
Ойша немесе пішінше (мысалы, Карно картасының ауданының өлшемі бойынша кесілген қағазбен,)Карно картасының айнымалы аудандарының бірі жабылады. Егер Карно картасының қарастырылып отырған клеткалар топтары толық жабылып және жабылған ауданнан шығып тұрмаса, онда, берілген айнымалы конъюнкция өрнегіне кіреді қарастырылып отырған клеткалар топтары үшін. Бұл іс әрекет Карно картасының барлық аудандарына кайталанады. Мысалы, Карно картасында төрт айнымалылар ол-
Мысалы, 1.12суретінде көрсетілген 1 мен толық клетка топтары қай айнымалы аудандарында екенін анықтау керек.



1.12 сурет
айнымалылар аудандарын ретімен жаба отырып, 1.13 суретінде көрсетілген бейнені аламыз.



1.13 сурет


Осы суретте 1 мен клетка топтары толық в) және е) суреттерінде ғана жабылған, ал а) және б) суреттерінде ол жартылай ғана жабылған, ал г ) және д) суреттерінде мүлдем жабылмаған. Конъюнкция осы клекалардың тобына айнымалыларын қамтиды, с.с түрі болады.


Егер туынды (барлық емес айнымалыларға анықталған) функция ақиқат кестесімен берілсе, онда Карно картасын клеткаларға толтырғанда, оларға функция анықталмаған, функцияның минималды аяққы аналитикалық өрнегі мәндерін орнатады. Карно картасын толтырғанда мұндай клеткаларға жиі (Х) мәнін қояды.
Карно картасы көмегімен функцияны кішірейту реті келесі:
1 Ақиқат кестесін немесе фунцияның аналитикалық өрнегін қолдана отырып,Карно картасын толтырады;
2 Карно картасында 1 мен клеткаларды (немесе 0 мен) біріктіретін топтар жасалынады. 1 немесе 0 бойынша функцияны кішірейту арасындағы қағидалы әр түрлілігі жоқ. Функция минималды өрнегі бар нұсқа алынады;
3 Функцияның таңдалған формада кішірейтілген өрнегін жазады.
Мысалы, келесі ақиқат кестесімен берілген функцияны кішірейту керек



Х 4

Х 3

Х 2

Х 1

f (ν)

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0




1

1

0

1




1

1

1

1







жүктеу/скачать 1,72 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6   7   8



©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз
    Басты бет