Упражнения и задания по теме “Числовые последовательности”

.
Вычислить предел числовой последовательности

_ 5  _

n

 

2. 
   Найти предел следующей дроби .
   

2. 
   Определить предел числовой последовательности
   

n²  2

n³  7 ^.

6. Упражнения и задания по теме “Решение задач из линейной алгебры”

В библиотеке функций Excel в категории математических есть следующие функции для выполнения операций над матрицами:

МОБР(массив) – обращение матрицы; МОПРЕД(массив) – вычисление определителя матрицы; МУМНОЖ(массив1;массив2) – умножение матриц; ТРАНСП(массив) – транспонирование матриц.

1. Упражнение

 ^{1  1 0} ^{1  1 2} 





Пусть заданы матрицы А=^ 2  1 2^ и В= ^1  1  3^ . Требуется найти

 

1



2

3

1
  

  

0  1^

матрицу, являющуюся суммой матриц А и В.

Решение

1. 
   В диапазон ячеек А2:C4 вводим элементы матрицы A, а в диапазон ячеек E2:G4 – элементы матрицы В (см. рис .9).
   
2. 
   Выделяем диапазон, где будут размещаться элементы результирующей матрицы С, например I2:K4.
   
3. 
   В выделенный диапазон вводим формулу: =А2:C4+ E2:G4.
   
4. 
   Нажимаем комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter. После выполнения операций в диапазоне ячеек G2:H3 будут помещены результаты
   

2. Упражнение

^{1  1}



Рис. 20

⁰ 




Умножить матрицу A=_3  2


1
_ 3

2 _


 1^

на число 3, то есть, получить матрицу

С= А х 3.

Решение

1. 
   В ячейки рабочего листа вводим элементы матрицы (например в диапазон А2:С4, см. рис.20).
   
2. 
   Выделяем диапазон, в котором будет вычисляться результирующая матрица, например E2:G4.
   
3. 
   В выделенный диапазон вводим формулу: =А2:C4*3.
   
4. 
   Нажимаем комбинацию клавиш + + (такая комбинация указывает, что должна быть выполнена операция с массивом ячеек). После выполнения операций в диапазон ячеек E2:G4 будут помещены результаты вычислений.
   

Рис. 21

3. Упражнение

Решить систему линейных уравнений

^{2x  3y  z  8}



^x  2 y  4z  6


^ 3x  2z  10
Решение

В матричной форме система линейных уравнений записывается в виде

А х Х = В.

В частном случае, когда число уравнений в системе (m) равно числу неизвестных (n), т.е. m=n, то решение такой системы можно найти методом обратной матрицы в виде

X=A^-1 х B,

где A^-1 –матрица, обратная по отношению к матрице А.

 ^{2 3  1}  ^x   ⁸ 

     

В нашем случае матрица А=_ 1  2 4 _ , Х=_ y _ , В=_ 6 _

^ 3 0 2 ^

 _z 

₁₀

     

1. 
   Присваиваем диапазону А3:С5 имя (например, А) и вводим в ячейки значения элементов матрицы А.
   
2. 
   Присваиваем диапазону Е3:Е5 имя (например, В) и вводим значения элементов матрицы В.
   
3. 
   Выделяем область G3:G5 для помещения результата решения системы и вводим в него формулу =МУМНОЖ(МОБР(А);В) (рис 21).
   
4. 
   Нажимаем комбинацию клавиш ++, в ячейках диапазона G3:G5 будет получен результат, как показано на рисунке 21.
   

Рис. 22

 ¹

1. 
   
   
   Пусть заданы матрицы A=^ 2
   

^{ 3 3}



0 3_

 ²





3


и B=_ 1

^{3 1} 



1 4_

. Требуется:



4


^ 2 1 ^

а) Доказать, что А+В=В+А.

^ 1 2 ^

б) Вычислить (В-А)*4=? И найти определитель полученной матрицы. в) Найти обратную матрицу: А^-1, (А*В)^-1, ((5В-2А)*(3А-В))^-1.

 ^{2 0}



2. 
   Дана матрица A=_ 2 1
   


^ 1 1

²



3^ , и многочлен P(x)=2x²-3x+3. Вычислить


3




матрицу Р(А), то есть матрицу Р(А)=2А²-3А+3.

3. 
   Решить систему линейных уравнений АХ=В по следующим формулам:
   

(по теореме Крамера) х₁=

, х₂=

А

,…., х_n=

А

, где матрицы А_j

А

(j=1,2,…,n)

получаются из матрицы А в результате замены j-го столбца столбцом свободных членов В.

 ^{х1  х2  х3  10,}

а) ^ 2х  3х  х  22,



^5х

1

• 
  4х
  

2 3

• 
  3х
  

 39;

 ^{1 2 3}
 ^{х1  х2  х3  2,}

б) ^2х  х  2х  2,

^ 1 2 3

^ 2х  3х  х

 5;

 ^{1 2 3}

4. 
   Решить систему линейных уравнений АХ=В по формуле Х=А^-1В
   

^{2х  у  5z  5,}



а) ^2х  3y  z  5,



^ x  4 y  z  7;

 ^{х  3у  2z  5,}


б) ^2х  y  4z  3,



^5x  y  3z  4.

1. Упражнение

Построить график функции
_{f (x) }  ^{1  sin(x), если x  0}



_1  sin(x), если х  0

Решение

на отрезке [-4;4] .

1. 
   В ячейки А3 и В3 вводим соответственно x и f(x).
   
2. 
   Табулируем функцию f(x) в диапазоне, изменения значения аргумента [-4,4] с шагом 0,5, для чего в ячейке А4 вводим число -4, а в ячейке А5 число -3,5, далее выделяем диапазон ячеек А3:А4 и протягиваем маркер заполнения (маленький черный квадрат, расположенный в нижнем правом углу выделенной области) до ячейки А20.
   
3. 
   В ячейке В4 вводим формулу =ЕСЛИ(А4>0;1+SIN(A4);1-SIN(A4)), далее копируем эту формулу до ячейки А20.
   
4. 
   Выделяем диапазон ячеек В3:В20 и выполняем команду меню
   

Вставка/Диаграмма.

5. 
   В окне Мастер диаграмм во вкладке Стандартные выбираем График, а в окне Вид – вид графика, щелкаем на кнопке Далее.
   
6. 
   В окне Мастер диаграмм (шаг 2) выбираем закладку Ряд. В поле Подписи оси х указываем ссылку на диапазон, содержащий значения х, т.е. на диапазон ячеек А4:А20. Щелкаем на кнопке Далее.
   
7. 
   В окне Мастер диаграмм (шаг 3) вводим подписи: Название диаграммы, Ось х, Ось у. Щелкаем на кнопке Готово.
   

На рабочий лист будет выведена следующая диаграмма (см. рис.22):