Сборник задач для учащихся 5-6 классов

Задачи на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая 
бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего 
форму параллелограмма. Рассмотрим туже задачу, что и в предыдущем разделе 
(Метод блок-схем).
Задача 5.
Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь 
этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды. В нашем 
распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду. 
Решение.
В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 
3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-
литровом сосуде, а по вертикали – в 3-литровом сосуде. На всем 
параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников 
(см. рис.1). 
Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих 
сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар 
отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где 
произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой 
происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в 
каждом из сосудов. 
Пусть шар находится в левом нижнем углу и после удара начнет 
перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, 
пока не достигнет верхней стороны в точке А. Это означает, что мы полностью 
наполнили водой малый сосуд. Отразившись упруго, шар покатится вправо вниз 
и ударится о нижний борт в точке В, координаты которой 3 по горизонтали и 0 
по вертикали. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом 
сосуде воды нет, то есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд. 

Прослеживая дальнейший путь шара, и записывая все этапы его движения в 
виде отдельной таблицы (табл.1), в конце концов, мы попадаем в точку Н, 
которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 
литра воды. Таким образом, получен ответ и указана последовательность 
переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний 
изображены схематически в таблице. 
О 
А 
В 
Н 
М 
0 
3 
0 
3 
1 
1 
0 
3 
0 
Б 
0 
0 
3 
3 
5 
0 
1 
1 
4 
Является ли это решение самым коротким? Нет, существует второй путь, 
когда воду сначала наливают в пятилитровый сосуд. Если на диаграмме шар из 
точки О покатится вправо по нижней стороне параллелограмма и затем, 
отразившись от правой боковой стороны, в точку 2 на верхней стороне 
параллелограмма и т.д., то получим более короткое решение задачи. Можно 
показать, что полученное решение с 6 переливаниями уже является самым 
коротким. 

жүктеу/скачать 3,64 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: