Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 4. П РИ М ЕН ЕН И Е ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 4. П РИ М ЕН ЕН И Е ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 231 В задачах 3681 — 3683 вычислить моменты инерции указанных частей однородных поверхностей (масса каждой части равна М). 3681. Боковой поверхности цилиндра (радиус основания R, высота Н) относительно оси, проходящей через его центр тяжести и перпендику лярной к оси цилиндра. 3682. Части параболоида х- у* = 2cz, отсеченной плоскостью z = c, относительно оси Oz. 3683. Боковой поверхности усеченного конуса (радиусы оснований R и г, высота Н ) относительно его оси. Р а з н ы е з а д а ч и 3684. Найти массу квадратной пластинки со стороной 2 а, если плотность материала пластинки пропорциональна квадрату расстояния от точки пересечения диагоналей и на углах квадрата равна единице. 3685. Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими окруж ностями, радиусы которых равны R и г (R^> г). Зная, что плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца. Плотность па окружности внутреннего круга равна единице. 3686. На фигуре, ограниченной эллипсом с полуосями а и Ь, рас пределена масса так, что плотность ее пропорциональна расстоянию от большой оси, причем на единице расстояния от этой оси она равна 7 . Найти всю массу. 3687. Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми поверх ностями, радиусы которых равны г и R (R^> r). Зная, что плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра сфер и на расстоянии, равном единице, равна 7 , найти всю массу тела. 3688. Вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым цилинд ром радиуса R, высоты /7, если его плотность в любой точке численно равна квадрату расстояния этой точки от центра основания ци линдра. 3689*. Вычислить массу тела, ограниченного круглым конусом, высота которого равна Һ, а угол между осыо и образующей . равен а, если плотность пропорциональна я-й степени расстояния от плоскости, проведенной через вершину конуса параллельно основанию, причем па единице расстояния она равна 7 (п^> 0 ). 3690. Найти массу шара радиуса R, если плотность пропорциональна кубу расстояния от центра и на единице расстояния равна 7 . 3691. Вычислить массу тела, ограниченного параболоидом х 2 - у~ = 2az и сферой х * у - zl ==Ъсг (г^> 0 ), если плотность в каждой точке равна сумме квадратов координат. 3692*. Плотность шара х 2 -\-у* -j- z2, ^ 2Rz в любой его точке численно равна квадрату расстояния этой точки от начала координат. Найти координаты центра тяжести шара. 232 ГЛ. X II. МНОГОМ ЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3693*. Найти статический момент общей части шаров х 2 -\-у“ -f- R* и х- -\-у“ -)- z‘ ^ 2Rz относительно плоскости Оху. Плотность в любой точке тела численно равна расстоянию этой точки от плоскости хОу. 3694*. Доказать, что момент инерции тела относительно какой-либо оси равен Md? - |- /с, где М — масса тела, d — расстояние от оси до центра тяжести тела, а /с — момент инерции относительно оси, парал лельной данной и проходящей через центр тяжести тела (теорема Ш тей нера; ср. с задачей 3 6 6 2 ). Основываясь на законе всемирного тяготения Ныотона (см. указание перед задачей 2 6 7 0 ), решить задачи 3 6 9 5 — 3 6 9 8 . 3695. Дан однородный шар радиуса R с плотностью -у. Вычислить силу, с которой он притягивает материальную точку массы т , находя щуюся на расстоянии а (а R) от его центра. Убедиться, что сила взаимодействия такова, как если бы вся масса шара была сосредото чена в его центре. 3 696*. Доказать, что ньютонова сила взаимодействия между двумя однородными шарами такова, как если бы массы шаров были сосредо точены в их центрах. 3697. Дан неоднородный сплошной шар х~ у* z* ^ R- с плот ностью, меняющейся по закону у = \г~. Вычислить силу, с которой он притягивает материальную точку с массой tn, если она находится на оси z на расстоянии 2R от центра шара. 3698. Дано однородное тело, ограниченное двумя концентрическими сферами (шаровой силой). Доказать, что сила притяжения этим слоем точки, находящейся во внутренней полости тела, равна нулю. Центром давления называется точка приложения равнодействующей всех сил давления па данную плоскую фигуру (все силы давления пер пендикулярны к плоскости фигуры). При определении координат центра давления исходят из того, что статический момент результирующей силы (т. е. давления на всю площадку) относительно любой оси равен сумме статических моментов отдельных сил относительно той же оси. Опи раясь на это, решить задачи 3699— 3701. 3699. Найти центр давления прямоугольника со сторонами а и Ь у которого большая сторона расположена вдоль свободной поверхности жидкости, а плоскость прямоугольника перпендикулярна к этой поверхности. Показать, что положение центра давления относительно прямоуголь ника не изменится, если плоскость прямоугольника будет наклонена к поверхности жидкости под углом а (а 0). Как изменятся предыду щие результаты, если большая сторона а расположена не на поверхности жидкости, а на глубине Һ (оставаясь параллельной поверхности)? |