Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 4. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 4. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению Г р а д и е н т 3439. 1) ф(л:, у) = Х“ — 2ху -)- З у — 1. Найти проекции градиента в точке ( 1, 2). 2) и = 5х~у— 3ху*-\~ у*. Найти проекции градиента в произвольной точке. 3440. 1) z= x*-\- у 2. Найти grad z в точке (3, 2). 2) z = ]/4 -j- х ‘ -}- У'- Найти grad z в точке (2, 1). 3) z = arctg ~ . Найти grad z в точке (х0, Уо). 3441. 1) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z = = In (jr -j- 4jr) в точке (6, 4, In 100). 2) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z = xy в точке (2, 2, 4). 3442. Каково направление наибольшего изменения функции ср (х, у, z) = х sin z — у cos z в начале координат? 3443. 1) z = arcsin —~r~r— • Найти угол между градиентами этой X у функции в точках (1, 1) и (3, 4). 2) Даны функции z — '\ f хг -|- у 1 и z = x — Зу -j- V Зху. Найти угол между градиентами этих функций в точке (3, 4). 3444. 1) Найти точку, в которой градиент функции z = ln Lv- {- yj 16 . равен I — -у- j. § 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ 215 2) Найти точки, п которых модуль градиента функции г = (х* уг) 2 равен 2. 3445. Доказать следующие соотношения (ср и ф — дифференцируемые функции, с — постоянная): grad (ср -|~ 6) = grad о -{- Srac^ gra(l (с ~\~ ?) = grad ср; grad (сер) = с grad ср; grad (ерб) = ср grad ф -{- ф grad ср; grad (срп) = пу п~1 grad ср; grad [ср (6)] = ср' (6) grad О. 3440. z = о (и, v), г/ = ф (_хт, у), v = (s(x, у). Показать, что grad z = ^ grad и -{- ^ grad v. 3447. 1) и (х, у, z) = xy-z. Найти проекции grad и в точке (аг0, у п, za) 2) и (х, у, z) =Ух~-\-у--\-г-. Найти grad и. 3448. Показать, что функция н = 1п (лг2-|-.У2 -j-z2) удовлетворяет соотношению // = 2 1п 2 — In (grad и)~. 3449. Доказать, что если лг, у, z суть функции от t, то ± / (х , у, z) = grad/-g, где r — xi-\-yj zk. 3450. Использовать доказанное в предыдущей задаче соотношение для нахождения градиента функции: 1 ) f = r - \ 2) / = | г |; 3 ) f = F ( r * b 4) f = {a r )(b r )\ 5) f= [a b r )\ где а и о — постоянные векторы. П р о и з в о д н а я по н а п р а в л е н и го 3451. 1) Найти производную функции z = x ]' — Зл~у 3.vy2 -j- 1 в точке М (3, 1) в направлении, идущем от этой точки к точке (б, 5). 2) Найти производную функции z = arctg ху в точке ( 1, 1) в направ лении биссектрисы перного координатного угла. 3) Найти производную функции z==xy- — ху3— 3у — 1 в точке (2, 1) в направлении, идущем от этой точки к началу координат. 4) Найти производную функции z = \п (ех -\-су) в начале координат в направлении луча, образующего угол а с осыо абсцисс. 3452. Найти производную функции z = In (лг-[->') в точке ( 1, 2), принадлежащей параболе у- = 4х, по направлению этой параболы. 3453. Найти производную функции z = arctg в точке » принадлежащей окружности л"-(-у2— 2л-= 0, по направлению этой окружности. 3554. Доказать, что производная функции z = ^ в любой точке эллипса 2л;2 -J-у ‘ = 1 по направлению нормали к эллипсу равна пулю. 3455. 1) Найти производную функции и = ху* -}- z3— xyz в точке Л І ( 1, 1, 2) в направлении, образующем с осями координат углы соот ветственно в 60°, 45°, 60°. 2) Найти производную функции w = xyz в точке А (5, 1, 2) в направ лении, идущем от этой точки к точке В (9, 4, 14). 3456. Найти производную функции u = x-y-z~ в точке А ( 1,— 1, 3) в направлении, идущем от этой точки к точке /5(0, 1, 1). V** у * 2*^ 3457. Доказать, что производная функции и = -j -J- в любой точке А1 (лг, у, z) в направлении, идущем от этой точки к началу коор динат, равна — — , где г = У х 1 -j- у~ z~. 3458. Доказать, что производная функции и = / (х , у, z) в направ лении ее градиента равна модулю градиента. 3459. Найти производную функции и = где г = X ' И-у ' -J- -г2 в направлении ее градиента. 216 ГЛ. XT. П РИ М ЕН ЕН И Я ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО ГО ИСЧИСЛЕНИЯ |