Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 3. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 3. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 209 § 3. Векторная функция скалярного аргумента. Линии в пространстве. Поверхности В е к т о р н а я ф у н к ц и я с к а л я р н о г о а р г у ме н т а 3360. Доказать формулы дифференцирования d / х dv , da d . . . . к/dv , du Tt (,ra)= " dt + v dt ■ 7t <“ X « ) := « х ш + ггХ®- Здесь п и v — векторные функции скалярного аргумента t. 3301. Дапо r = r(t). Мапти производные. \ d , d ( dr\ 4 d ( ч . dr\ 4 d ( dr d~r a) 7 гЛг У> б) -Г. r /77 ; в) ;77 гХттт Ь d t y;> ' dt \ dt j ’ ' dt\ ' d t } ' ' dt \ dt dt dr 3362. Дано, что при всех значениях £ векторы г (0 и коллипеарны. ^/“/* г/71г Доказать, что и векторы ^ ^ > • • • > ^ коллипеарны вектору г (О- 3363. Доказать, что если модуль |г| функции г(/) остается постоян- (IГ ным для всех значений t, то — _|_ г. (Каков геометрический смысл этого факта?) Имеет ли место обратная теорема? 3364. Дано /*= a cos a>t -J- Ь sin Ы, где а и Ь — постоянные векторы. Доказать, что ^ r X j f = ua X b и 2)^ - |- c o V = 0. 3365. Доказать, что если е — единичный вектор направления век- с , Е X dE тора Е, то ey^de = — ^ — . 3366. Доказать, что если г = аеш -|- Ье~ы , где а и ft— постоянные d-r А векторы, то — огг = 0. 3367. u = ol ( x , у , 2, t)i-\-$(x, у, z, ОУ+ТГС*» У> z> 0*» гДе л'> 3'. z — функции от t. Доказать, что d u ___ dti rf* I tfy I ди dz dt Ot r Ox dt I Oy dt ' dz dt ’ 3368. Дано: r = г (и), и = у (x). Выразить производные ~ dr d-r d'r чеРез rfil5’ 3360. Доказать, что если для векторной функции r = r ( t ) имеет (1 Г* место соотношение = а-г, где а = const, то годографом функции г (І) является луч, выходящий из полюса. 3370. Пусть функция r ( i ) определена, непрерывна и дифференцируема в интервале (l\, t*), причем r \t{) = r (U). Применить теорему Ролля 210 ГЛ. XI. ПРИ М ЕН ЕН И Я ДИФФЕРЕНЦ ИАЛЬНО ГО ИСЧИСЛЕНИЯ к функции а • г, где а — произвольный постоянный вектор. Объяснить результат геометрически. 3371. Дан радиус-вектор движущейся в пространстве точки г \а sin t, — acos^, bf~) ( t — время, а и 6— постоянные). Найти годографы ско рости и ускорения. 3372. Найти траекторию движения, для которого радиус-вектор дви- d r жущейся точки удовлетворяет условию — = а X Л гДе а ~ постоянный вектор. 3373. Материальная точка движется по закону г = v0t -{- ү gt 2 ( г — радиус-вектор этой точки в момент t, -it0 и ^ — заданные векторы). Пока зать, что: 1) кинетическая энергия материальной точки есть квадратич ная функция времени; 2) ©„— начальная скорость (т. е. значение век тора скорости в момент ^ = 0); 3) движение происходит с постоянным ускорением, равным вектору g; 4) движение происходит по параболе (если только векторы г> 0 и g не коллипеарны), ось которой параллельна вектору g. 3374. Закон движения материальной точки задан формулой г = cl cos t -{- b sin t -[- с, где векторы а и b взаимно перпендикулярны. Определить траекторию движения. В какие моменты скорость движения будет экстремальной? В какие моменты ускорение будет экстремальным? 3375. Формулы преобразования декартовых координат в сфериче ские имеют вид х = р sin 0 cos ср, _y = psin6 sin ср, z = pcosO, где р— рас стояние данной точки от полюса, 0 — широта ее, ср — азимут или дол гота. Найти компоненты скорости движения материальной точки в направ лениях единичных ортогональных векторов ер, е0, ег П р о с т р а н с т в е н н ы е л ин и и В задачах 3376— 3383 составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для данных линий в указанных точках: /г 1 Р t- \ Р Р t~ 3376. г ( - у ) , т. е. ,дг = — , у = ү , г = ү , в произвольной точке. 0 0 7 7 ^ ( а Ү 2 a Y ' l k \ 6677. х = a cos ср, у = а sin ср, z — < р в данной точке (-^— , , -g-J. Доказать, что касательная во всех точках линии составляет с осыо Oz один и тот же угол. 3378. x = a t , у = ~ а Р , z = -^aP в точке (6а, 18а, 72а). 3379. x = t — sin t, у = 1 — cos t, z = 4 sin ~ в точке (тс/2 — 1, 1, 2 ] / 2). |