Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 3. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 3. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 3380. у~ -f- z* = 25, х 1 -рУ’ = 10 п точке (1, 3, 4). 3381. 2л'2 -|- Зу- г2 = 4 7 , x~J r 2y‘i = z в точке (— 2, 1, С). 3382. х* -|-У = z\ х = у и точке (хп, у 0, г„). 3383. х л -[- z 3 = а'\ у л -|~ г 3 = Ьг в произвольной точке. 3384. На линии г {cos/, sin t, ее\ найти точку, касательная и которой параллельна плоскости У 'б х -|-у — 4 = 0. В задачах 3385— 3387 составить уравнения соприкасающейся пло скости, главной нормали и бинормали к данным линиям в указанных точках. 3385. у ° = х, х ~ = z в точках (1, 1, 1). 3386. x 1 = 2 az , y~ = 2bz в произвольной точке. 3387. г [е1, е~(, Z ]/ ^ } в точке ( е, £_1,]/"2). 3388. Показать, что касательные, главные нормали и бинормали ли нии cos ^sin t, e*\ составляют постоянные углы с осыо Oz. В задачах 3389 — 3392 составить уравнения касательной прямой, нормальной плоскости, бинормали, соприкасающейся плоскости, главной нормали и спрямляющей плоскости к данным линиям в указанных точках. 3389. x = t~, у = 1— t, z = t'-1 в точке (1, 0, 1). 3399. х* -\-у- -{- г2 = 3, х 2 -\-у- = 2 в точке (1, 1, 1). 3391. г {sin/, cos t, tg t) в т о ч к е > і) • 3392. r {/3 — 1 ‘ — 5, 3/2-j~l> — 16} в точке, соответствующей значению параметра t = 2 . 3393. Показать, что линия г \2t-\- 3, 31— 1, /*} имеет во всех точках одну и ту же соприкасающуюся плоскость. Объяснить этот факт гео метрически. 3394. Доказать, что линия Г {(l\t~ -1— bit — j— Cj, Q.*t" — j— bot -j- ^2* ^-3^ -j- b,\t — j— C3} плоская, и составить уравнение той плоскости, в которой она распо ложена. 3395. Найти радиус кручения линии г {cost, sin/, ch/}. 3393. Найти радиус крпвиены линии г {In cos t, In sin t, ]/"2t}, 0<^/<^тг/2. Показать, что кручение в любой ее точке равно кривизне в этой точке. 3397. Показать, что для линии г {е* cos /, е* sint, отношение кривизны к кручению остается постоянным для всех точек кривой. 3398. Как выразится кривизна пространственной линии, заданной уравнениями у = ф (дг), z = ty (лг)? 3399. Выразить векторы ть v b pi через производные радиус-вектора точки на кривой r = r ( t ) . 34С0. Выразить каждый пз векторов ть Vi, pi через два других. 3401. Найти вектор со (s) (вектор Дарбу), удовлетворяющий усло виям ж = ю х т '5 S = M X V ‘ ; w = M X P ‘ - 212 ГЛ. XI. П РИ М ЕН ЕН И Я Д ИФФЕРЕНЦ И АЛЬНО ГО ИСЧИСЛЕНИЯ Д л и и а д у г и п р о с т р а н с т в е н н о й л и н и и В задачах 3402— 3409 найти длину дуги линий. 3402. г {2/, In /, г2} от / = 1 до /= 10. 3403. г {a cos/, a sin/, a In cos/} от точки (а, 0, 0) до точки ( а У 2 а У 2 а \ 2 ’ 2 ’ 2 3404. г {е* cost, ef smt, ef} от точки (1, 0, 1) до точки, соответ ствующей параметру /. 3405. х 1 = Ъу, 2 x y = 9 z от точки (0, 0, 0) до точки (3, 3, 2). 3406. = 2ах, 9 / = 1 6 xz от точки (0, 0, 0) до точки (2а, 8а/3, 2 а). 3407. Аах = (у-\-zf, 4х~-\- Зу2 = Зг2 от начала координат до точки (х, у, г). _________ 3408. у = У 2 а х — х% z = a In ^ от начала координат до точки (х, у, г). 3409. у = a arcsin — , z = -r a In - -^_x- от начала координат до точки In 2 . ( а ап а . 0 \ ( ? • 6-' т ' " 3)- П о в е р х н о с т и В задачах 3410— 3419 для данных поверхностей найти уравнения касательных плоскостей и нормалей в указанных точках. 3410. z = 2 x ~ — 4у~ в точке (2, 1, 4). 3411. z = xy в точке (1, 1, 1). .V3 — Зад-у -f у* ч 3412. г = ----- ^ —L^- в точке (а, а, — а). 8413. z = У х~ -[- у* — ху в точке (3, 4, — 7). 3414. z = arctg— в точке | l , 1, . 3415. * + £ + * = , П точке ( * J £ . a * a- 1 b~ 1 c- \ 3 ’ 3 ’ 3 3416. х я-\-у я-\- z 5 -\- xyz — 6 = 0 в точке (1, 2, — 1). 3417. Зх4— 4у'лг -f- 4z~xy— 4г'лх -f- I = 0 в точке (1, I, 1). 3418. (z- — x-) x y z — y ’= 5 в точке (1, 1, 2). 3419. 4 -{- У х 1 -J- у 1 -\- z~ = x -j- у -f- z в точке (2, 3, 6). 3420. Показать, что уравнение касательной плоскости к эллипсоиду ^»2 у - д* “ Г Н- с* == 1 в любой его точке Ж 0(-Го» J'o. ^и) имеет вид ох | у0у , znz а- * Ь~ * с- 3421. К эллипсоиду х* -(- 2у- -[- z2 = 1 провести касательную пло скость, параллельную плоскости х — у -{- 2 z = 0 . у - 2 “ 3422. К эллипсоиду ^ -j- 4- -j- = 1 провести касательную пло скость, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки. 3423. Показать, что поверхности х -[- 2у — lti z -{- 4 = 0 и „v9 — — х у — 8х -f- z -j- 5 = 0 касаются друг друга (т. е. имеют общую ка сательную плоскость) в точке (2, — 3, I). 3424. Доказать, что все плоскости, касательные к поверхности z = пересекаются в одной точке. 3425. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к шару г {н cos v, и sin v, У а 2 — /г} в точке г0 {х0, у п> z0}. 3426. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к гипер болическому параболоиду r{a(u-\-v), b (ii— г>), uv) в произвольной точке \xih ув, Z q }. 3427. Доказать, что поверхности х2 -|-у* -\- z~= ах и х* У2 -f- -\г гг = Ьу ортогональны друг к другу. 3428. Показать, что касательная плоскость к поверхности хуг = ал в любой ее точке образует с плоскостями координат тетраэдр постоян ного объема. Найти этот объем. 3429. Показать, что касательные плоскости к поверхности Ух-\- -|- V у -Ь V z — V й отсекают на координатных осях отрезки, сумма которых равна а. 3430. Для поверхности z = ху написать уравнение касательной пло- ,, х -j— 2 у — (- 2 z — 1 скости, перпендикулярной к прямой —~— = —-— = ——р. 3431. Показать, что для поверхности х * у * z 1 = у длина отрезка нормали между поверхностью и плоскостью хОу равна рас стоянию от начала координат до следа нормали на этой плоскости. 3432. Доказать, что нормаль к поверхности эллипсоида вращения А ^ -— \-~== 1 в любой его точке Р (х, у, z) образует равные углы с прямыми РА и Р В , если А (0, — 4, 0) и В (0, 4, 0). 3433. Доказать, что все нормали к поверхности вращения г = / ( ] / ^ + 7 ) пересекают ось вращения. жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|