Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

3276. Убедиться, что при х = 5, 
у
= 6 функция z =
x*-\-у 1
— бху—  
— 39л: —
|—
18_у —
|- 20 имеет минимум.
3277. Найти стационарные точки функции z = x
3
y-( 12 — х — у), 
удовлетворяющие условию 
0, у 
0, и исследовать их характер.
204 
ГЛ. XI. ПРИ М ЕН ЕН И Я ДИФФЕРЕНЦ ИАЛЬНО ГО ИСЧИСЛЕНИЯ
3278. Найти стационарные точки функции 2 := л:3-)-у*— Зху и иссле­
довать их характер.
Н а и б о л ь ш и е и н а и м е н ь ш и е з н а ч е н и я
3279. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x "— 
—у
1
в круге x l -j- у- 
4.
3280. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x~-\- 
-j-2х у — 4 х
8
у в прямоугольнике, ограниченном прямыми
х =
0
, 
у —  
0
, 
х = \ , у =
2
.
3281. Найти наибольшее значение функции z = x~y(4— х — у) в тре­
угольнике, ограниченном прямыми х = 0, у = 0, х -\-у =  6.
3282. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = е~х'-У~ (
2
х- -)- Зу2)
в круге JC" -\-У
4.
3283. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2, = sinx-|- 
-f- s i n —
j—
sin (x-\-y) в прямоугольнике 0 ^ j c ^ t c / 2; 0 =^_у^т:/2.
3284. Разложить положительное число а па трп положительных 
слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.
3285. Представить положительное число а в виде произведения 
четырех положительных множителей так, чтобы их сумма была наи­
меньшей.

§ !. ФОРМУЛА ТЕПЛОРА
205
3286. На плоскости Оху найти точку, сумма квадратов расстояний 
которой от трех прямых .г = 0, у =  0, х~\-2у— 16 = 0 была бы наи­
меньшей.
3287. Через точку (а, Ъ, с) провести плоскость так, чтобы объем 
тетраэдра, отсекаемого ею от координатного трехгранника, был наи­
меньшим.
3288. Даны 
и 
точек: Ах(хь у и zx), ..., Ап(хп, у п, zn). На плоскости 
Оху найти точку, сумма квадратов расстояний которой от всех данных 
точек была бы наименьшей.
3289. Даны три точки А (0, 0, 12), В ( 0, 0, 4) и С (8, 0, 8). На 
плоскости Оху найти такую точку D, чтобы сфера, проходящая через 
А, В, С и Д имела наименьший радиус.
3290. В данный шар диаметра 2R вписать прямоугольный паралле­
лепипед наибольшего объема.
У с л о в н ы е э к с т р е м у м ы
В задачах 3291 — 3296 исследовать функции па экстремум.
3291. z = x m+ y m (//г > 1) при х-\-у = 2 (х ^ 0, у ^ 0).
С3292j z = xy при х* -\- у* = 2а%.
3293. 2 = - - }- — при X  -4- Л = “ г.
х 1 у 
х- 1 у- 
и-
7Z
3294. z = a cos2 x-\-b cos2у  при у  — х  = —
4 *
3295. и — х —
j—
у  —
1“ z прп — —
j~ ——|——— 1
noor 
[\)x-\-y-\-z = b,
3296. и = xyz при <
1 2) ху -j- xz -j- yz = 8.
3297*. Доказать справедливость соотношения
Л1 +
+ •••+ хп 
/л'і + -г2 + ••• + хп\'
3298. / (х, у) = х я — Зху- -J- 18у, причем Зх~у — у л — 6х = 0. Дока­
зать, что функция /(„v, у ) достигает экстремума в точках x = y = zlz V  3.
3299. Найти минимум функции и = а х - by--\-cz~, где а, Ь, с — 
положительные постоянные, а х,у, z связаны соотношением х -j- у
z = 1.
3300. Найти наибольшее и наименьшее значения функции м = у 2-|~ 
-f-4z2— 4yz — 2xz — 2ху при условии 2х- -j- ЗУ2-|- 62- = 1.
3301. На плоскости З х — 2z = 0 найти точку, сумма квадратов рас­
стояний которой от точек Л (1, 1, 1) и £(2, 3, 4) была бы наименьшей.
3302. На плоскости х-{-у — 2z = 0 найти точку, сумма квадратов 
расстояний которой от плоскостей x-f-3z = 6 и У~і~ 
3
z =
2
была бы 
наименьшей.
3303. Даны точки А (4, 0, 4), В (4, 4, 4); С (4, 4, 0). На поверхности 
шара х *-J-У2-j- z
1
= 4 найти такую точку S’, чтобы объем пирамиды

20G 
ГЛ. XI. ПРИ М ЕН ЕН И Я Д ИФФЕРЕНЦ ИАЛЬНО ГО ИСЧИСЛЕНИЯ
SA B C  был: а) наибольшим, б) наименьшим. Проверить ответ элемен­
тарно-геометрическим путем.
3304. Найти прямоугольный параллелепипед данного объема V, имею­
щий наименьшую поверхность.
3305. Найти прямоугольный параллелепипед данной поверхности S, 
имеющий наибольший объем.
3306. Найти объем наибольшего прямоугольного параллелепипеда, 
который можно вписать в эллипсоид с полуосями а, Ь и с.
3307. Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него кони­
ческой верхушкой. При каких соотношениях между линейными разме­
рами палатки для ее изготовления потребу­
ется наименьшее количество материала при 
заданном объеме?
3308. Сечение капала имеет форму рав­
нобочной трапеции данной площади. Как вы­
брать его размеры, чтобы омываемая поверх­
ность капала была наименьшей (рис. 61)?
3309. Из всех прямоугольных паралле­
лепипедов, имеющих данную диагональ, найти 
тот, объем которого наибольший.
3310. Указать наружные размеры открытого (без крышки) ящика 
формы прямоугольного параллелепипеда с заданной толщиной стенок а 
и объемом V, чтобы на него пошло наименьшее количество материала.
3311. Найти наибольший объем параллелепипеда при данной сумме 
12а всех его ребер.
3312. Около данного эллипса описать треугольник с основанием, 
параллельным большой оси, площадь которого была бы наименьшей.
3313. На эллипсе ^--{-■^-=1 найти точки, наименее и наиболее уда­
ленные от прямой Зх-|-_у— 9 = 0.
3314. На параболе х'2-}- 2ху -)-у~ -|- 4_у = 0 найти точку, наименее 
удаленную от прямой Зх — б_у-}-4 = 0.
3315. На параболе 2х“ — 4ху-{-2у'1— х  — у =  0 найти точку, бли­
жайшую к прямой 9л*— 7_y-j-16 = 0.
3316. Найти наибольшее расстояние точек поверхности
2х-
-(- З У -]- 2га -j- 2
x z —
0
от плоскости z = 0.
3317. Найти стороны прямоугольного треугольника, имеющего при 
данной площади S’ наименьший периметр.
3318. В прямой эллиптический конус, полуоси основания которого 
равны а и Ь, высота Н, вписана призма с прямоугольным основанием, 
так, что стороны основания параллельны осям, а пересечение диагона­
лей основания лежит в центре эллипса. Каковы должны быть стороны 
основания и высота этой призмы, для того чтобы ее объем был наиболь­
шим? Каков этот наибольший объем?

3319. Найти правильную треугольную пирамиду»заданного объема,
имеющую наименьшую сумму ребер. 
1
3320. На эллипсе даны две точки; найти на том же эллипсе третью 
точку так, чтобы треугольник, имеющий вершинами указанные точки, 
был наибольшим по площади.
3321. К эллипсу 
1 провести нормаль, наиболее удален­
ную от начала координат.
3322. На эллипсоиде вращения gg —{—_>»* —{—
z * =  1 найти точки, наи­
менее и наиболее удаленные от плоскости Злг —
{—
4_у —
j— 12z = 288.
3323. Даны плоские линии f(x , у) —  0 и экстремум расстояния между точками (а, 
(3) 
и 
(с, т]), 
лежащими соответ­
ственно на этих линиях, имеет место при выполнении следующего 
условия:
т
ж
\ 0 Х ] х = а
\ д Х / х = *
а — 5 __ 
.V — ji 
у = т]

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: