Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

8005. lim 
3000. lira 1 
+ f> .
л- _ 0
Х-+У- 
x -»о (а- 
+ у-) x-y
y^O 
y-  0
1
1
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ 
189
3007. lim e , . 
3008. lim ( H - x 2/ ) А' + Я .
x -> 0 А' + -У 
-v-лО
jy-0 
3--0
X -i- у
3009. Показать, что функция и = -
^ z ~  при „г—>0, >/->0 может
стремиться к любому пределу (в зависимости от того, как стремятся 
к пулю х и у). Привести примеры таких изменений х  и у, чтобы: 
a) lim гг = 1, б) lim гг = 2.
2
ЗОЮ. Найти точки разрыва функции z — -*—.— гг. Как ведет себя
х- -j- jг
функция в окрестности точки разрыва?
3011. Найти точки разрыва функции z-=-r-r.--- \——— .
^ ^ 
1 J 
Sill' TtX -j- Sill" 7\y
3012. Где будет разрывна функция z = -~_ ?
3013. Где будет разрывна функция z
sin т:у
.У  + 2л- 
’ у" — 
2
х
3015*. Исследовать непрерывность функции при л'=-0, у =  0:
3014. Где будет разрывна функция z —
7 - **
1
) 
/ ( Х , у ) =
- Ң
у і .
/ (
0
, 
0
) =
0
. 
2
) 
/ (
0
, 
0
) =
0
.
3) f(x , y ) = J ^ -  /(0, 0 )= 0 . 
4) f (x , 3,) = - ^ ; /(0, 0 )= 0.
5) f(x , 
/(0, 0) = 0. 
0) f (x , y) = J ^ 7 - / ( 0, 0) = 0
Л и н и и и п о в е р х н о с т и у р о в н я
3016. Дана функция z = f (х, у ) = ■
. Построить линии уров-
х~ 
у~
ня этой функции для z —  1, 2, 3, 4.
3017. Функция z = f ( x , у ) задана следующим образом: 
в 
точке
Р (х, у) ее значение равно углу, под которым виден из этой точки 
данный в плоскости Оху отрезок АВ. Найти линии уровня функции
f (x , у).
В задачах 3.018— 3021 начертить линии уровня данных функций, 
придавая z значения от — 5 до -}~ б через 1.
3018. г = ху. 
3019. z — х*у -j- лт.
3020. z = у (.г3-J- 1). 
3021. z = ^ Z ~ .

3022. Построить линии уровня функции z =  (х2 -}-у °)2— 2 (х2— j'2),
3 
1
придавая z значения от — 1 до 
через у .
3023. Построить линии уровня функции г, неявно заданной уравне­
нием ( д V [(-^ — 5)“ +
— ( у ) " ((x + 5)2 + Л давая г значения от — 4
до 4 через единицу.
3024. Построить линии уровня функции z, заданной неявно уравне­
нием У2 —
2
~г ( х — z), давая z значения or — 3 до 3 через 1.
190 
ГЛ. X. Д ИФФЕРЕНЦ И АЛ ЬН О Е ИСЧИСЛЕНИЕ
3025. Найти линии уровня функции z, заданной неявно уравнением 
z —
j—
х  1 n z-\~y =
0
.
3026. В пространстве дана точка А. Расстояние переменной точки 
М  от точки /1 есть функция координат точки М. Найти поверхности 
уровня этой функции, соответствующие расстояниям, равным 1, 2, 3, 4.
3027. Функция u = f ( x , у, z) задана следующим образом: в точке 
Р  (х, у, z) ее значение равно сумме расстояний этой точки от двух 
данных точек: А (х и у ь Zy), В(х», у о, zo). Указать поверхности уровня 
функции f (x , у, z).
3028. Найти поверхности уровня функции
. 
1 
-j- Y х~ -4- V3 + z
1 
и =  In —1
' - 1
1
1 
— у х~ -j—
у- —
|—
Z3
I .1)2
3029. Найти поверхности уровня функции п = :—
3030. Найти поверхности уровня функции:
1) и =
2) и = tg (х3 4- У —
2
z%

3031. На рис. 58 изображены линии уровня функции z — f { x , у). 
Построить график функции:
1) z = / (х , 0); 
2) z = f ( x ,  4); 
3) z = f (  1, у);
4) z = f ( — 5, >'); 
5) z = f { x ,  Зх); 
6) z = f ( x , х9).

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: