Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 1. Функции нескольких переменных
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 1. Функции нескольких переменных 2953. Выразить объем z конуса как функцию его образующей х и высоты у. 2954. Выразить площадь 5 треугольника как функцию его трех сторон х, у, z. 2955. Составить таблицу значений функции z = 2 х — Зу -J- 1, даная независимым переменным значения от 0 до 5 через единицу. 2956. Составить таблицу значений функции z = у х- -4-У', давая независимым переменным значения от 0 до 1 через 0,1. Значения функ ции вычислять с точностью до 0,01. 2957. Найти значение функции: п г — f arctg(х + У)Ү прп 1_-Кз-. 1) Z — \aTClg(x — y )) Р 2 ’ 3 2 ’ 2) z = esin(л'+-'') при х = у = ~ ; 3) г — у х 2 ~ х-}-хУ--] при х = 2 , у = 2 ; х = \ , у = 2 ; х = 2 , у = 1. 2958. Дана функция F { v „ ч __ У (А-) < \> (у) — Ъ (А-) у ( у ) К ’ У )~ < Р (ху) 4, (ху) Найти F (а, 1/а). В частности, положить (р(н) = н3, ф (гг) = г/2 и под считать F (а, 1/л). 2959. Дана функция F (х, у ) = у х — ху. Если х и у меняются с одинаковой скоростью, то какая функция при л: = 3, у = 2 растет быстрее: та ли, которая получается из F при фиксированном у (ме няется только х), или же та, которая получается при фиксированном х (меняется только у)? 2960. Дана функция J4-* г cos у) х -j- х>'~г. Переменные у и 2 сохраняют фиксированные значения у 0 и z0f причем уй = 'дг0. Что представляет собой график функции y Q, 20)? Является ли ср (лг, у, z): 1) рациональной функцией от у ? от z ? 2) целой функцией от х ? 2961*. Функцию z = f ( x , у), удовлетворяющую тождественно соот ношению f(m x,m y) — mkf ( x t y) при любом т , называют однородной функцией к-го порядка. Показать, что однород ная функция к-го порядка z = f ( x , у) всегда может быть представ 186 ГЛ. X. Д ИФФЕРЕНЦ И АЛ ЬН О Е ИСЧИСЛЕНИЕ :**/>(£ 2962. Однородность функции любого числа независимых переменных определяется аналогично функции двух переменных: например, /(лг, у, z) — однородная функция к-го порядка, если f(m x , т у , mz) = mkf (лг, у, z) при любом т . Также имеет место свойство: П х , у , г ) = * х ‘ғ ( ± , i ) ; доказать его. 2963. Проверить, что функция z = F (x , у) = ху удовлетворяет функциональному уравнению F (ах -f- bu, cy-\-dv) = acF (лг, у) -J- ЪсҒ (и, y)-\~adF(x, v)-\-bdF(u> v). 2964. Проверить, что функция z = F (х, у) = \п х\п у удовлетворяет функциональному уравнению F (ху, uv) = F (x , и) -{- F (лг, v)-\-F(y, u)-\-F(y, v) (л', у, и, v положительны). 2965. Из уравнения — J— ~ = 1 определить ^ как явную функ цию лг и у. Будет ли функция однозначной? 2966. Дана сложная функция z = uv, где и = х -\-у, v = x — у. Найти значение функции: 1) прп лг = 0, у = 1; 2) при л г = 1, _ у = 1; 3) при л: = 2 , у — 3; 4) прп л' = 0, j/ = 0; 5) при лг = — 1, у = — 1. 2967. z = ll- ; u = w t, v = w~t\ w = Y х у , t = 2 ( x — у). Вы разить гг непосредственно в виде функции от лг и у. Является ли z рациональной функцией от и и v? от w и t? от лг и у ? 2968. Яапа сложная функция z = uw -(- w u+v, где и = х-\-у, v = x — у, w = xу. Выразить .г непосредственно в виде функции от лг и у. П Л „ Л /»- I ti т t е<" ~Ье* с<° — ^ 2969. и = (с -j- Tj) — Е3 — i f ; I = — 7 }— , f] — — г?— ; ш = 1п (лг2 У + ? — 2 1п (лг -J- у -j- z). Выразить и непосредственно § 2. П РО СТЕВШ И Е СВОЙСТВА ФУНКЦИИ 187 в виде функции от лг, у и z. Является ли и целой рациональной функ цией от 5 и т;? от ш и ср? от х, у, z? 2970. Сложную функцию представить в виде «цепочки» зависимостей из двух звеньев. 2Э71. Исследовать методом сечений график функции z = -^(x~— у-). Что представляют собой сечения плоскостями х = const? у = const? z = const? 2972. Исследовать методом сечений график функции z = x y . Что представляют собой сечения плоскостями лг= const? у = const? 2 = const? 2973. Исследовать методом сечений график функции z = y ~ — х л. 2974. Исследовать методом сечений график функции г3 = ах- -j- by- (а 0, Ь^> 0). жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|