§ 4. П РИ М ЕН ЕН И Е ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

П л о щ а д ь п о в е р х н о с т и
3626. Вычислить площадь той части плоскости 
6
х-\-Зу-\-2z = \2, 
которая заключена в первом октанте.
3627. Вычислить площадь той части поверхности 
г~ = 2ху,
которая 
находится над прямоугольником, лежащим в плоскости 
z =
0
и ограни­
ченным прямыми 
х =
0
, 
у =
0
, , v = 3 ,
у =
6
.
3628. Найти площадь части конуса 
г~ = х*-\-у~,
лежащую над плос­
костью 
Оху
и отсеченную плоскостью 
z = \'r 2[^-\~
1
j .
В задачах 3629 — 3639 найти площади указанных частей данных 
поверхностей.
3629. Части z
2
= a
'2
- J - jr , вырезанной цилиндром 
z~ =
2
ру.
3630. Части 
у~-\-г- = х\
лежащей внутри цилиндра д г - f
-y- = R}.
3631. Части 
у °
-j—
z~
= лт“, вырезанной 
цилиндром 
х%
—
у- = а-
и 
плоскостями 
у = Ь
и 
у =
— 
Ь.
3632. Части 
z- = 4x,
вырезанной цилиндром 
у
2
 = 4х
и плоскостью 
х =
1
.
3633. Части 
z = xy,
вырезанной цилиндром 
х - 
у- = R-.
3634. Части 
2z = x* -{-у*,
вырезанной цилиндром лтя —
)—
== 1.
3635. Части 
x~~\-yi -\-z~ = а\
вырезанной 
цилиндром 
х а - | - У =
=
R* (R
< а).
3636. Части 
х--\-у
2
-\-z-= R*,
вырезанной цилиндром 
х
1
 -\-у* = Rx.
3637. Части 
х~ 
у*
-j
- z- = R ‘,
вырезанной поверхностью („г* -(- 
у 1)- =  
= /**(**- Л
3638. Части 
г =
, 
вырезанной 
поверхностями 
х*-\-у
2
= 1 ,
—
j—
_v
2
= 4 и лежащей в первом октанте.
3639. Части (jt'c o s a -j-^ / sin a ) - - j- z
2
= я2, лежащей в первом октанте 
(a 0 / 2 ) .
3640*. Вычислить площадь 
части земной поверхности (считая ее 
сферической при радиусе 
R ^
6
400 км),
заключенной между меридиа­
нами 
(5
=
30°, 
ср =
60° 
и параллелями 0 =
45° 
и 0 =
60°.
3641. Вычислить полную поверхность тела, ограниченного сферой 
х 2, -у-
-j- 
z‘ =
За
2
и параболоидом 
х
1
-J- 
у
1
=
2az (z ^
0).
3642. Оси двух одинаковых цилиндров радиуса 
R
пересекаются под 
прямым углом. Найти площадь части поверхности одного из цилиндров, 
лежащей в другом.
М о м е н т ы и ц е н т р т я ж е с т и
В задачах 3643 — 3646 найти двойным интегрированием статические 
моменты однородных плоских фигур (плотность 
I).
3643. Прямоугольника со сторонами 
а
и 
Ъ
относительно стороны 
а.
3644. Полукруга относительно диаметра
3645. Круга относительно касательной.
3646. Правильного шестиугольника относительно стороны.
228 
ГЛ. X II. М НОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 4. П РИ М ЕН ЕН И Е ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
229
3647. 
Доказать, что статический момент треугольника с основанием 
а 
относительно этого основания' зависит только от высоты треугольника.
В задачах 
3648 
—
3652 
найти двойным 
интегрированием центры 
тяжести однородных плоских фигур.
3648. Фигуры, ограниченной верхней половиной эллипса, опираю­
щейся на большую ось.
3649. Фигуры, ограниченной синусоидой ^ = sin„v, осыо 
Ох
и прямой 
х — п/4.
3650. Кругового сектора, соответствующего центральному углу а 
(радиус круга 
R).
3651. Кругового сегмента, соответствующего центральному углу а 
(радиус круга 
R).
3652. Фигуры, ограниченном замкнутой линией 
у* = х *
— 
х
1
(л с ^ О ).
В задачах 
3653 
—
3659 
найти моменты инерции однородных плоских
фигур (плотность 
7
=
1
).
3653. Круга радиуса 
R
относительно касательной.
3654. Квадрата со стороной 
а
относительно вершины.
3655. Эллипса относительно центра.
3656. Прямоугольника со сторонами 
а
и 
b
относительно точки 
пересечения диагоналей.
3657. Равнобедренного треугольника с основанием 
а
и высотой 
Һ 
относительно вершины.
3658. Круга радиуса 
R
относительно точки, лежащей на окружности.
3659. Сегмента параболы с хордой, перпендикулярной к оси, отно­
сительно вершины параболы (длина хорды 
а,
«стрелка» 
Һ).
3660. Доказать, что момент инерции кругового кольца относительно 
центра в два раза больше момента инерции относительно любой оси, 
проходящей через центр кольца и лежащей в его плоскости.
3661. Доказать, что сумма моментов инерции плоской фигуры 
F  
относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, лежащих 
в одной плоскости с этой фигурой и проходящих через неподвижную 
точку 
О,
есть 
величина 
постоянная.
3662*. Доказать, что момент инерции плоской фигуры относительно 
какой-нибудь оси равен 
Md*-\-Ic,
где 
М
— масса, распределенная на 
фигуре, 
d
— расстояние от оси до центра тяжести фигуры, а /с — момент 
инерции относительно осп, параллельной данной и проходящей через 
центр тяжести фигуры (теорема Штейнера).
В задачах 3603 — 3605 найти статические моменты однородных тел 
(плотность 
7
=
1
).
3663. Прямоугольного параллелепипеда с ребрами 
а, Ь
и 
с
относи­
тельно его граней.
3664. Прямого круглого конуса (радиус основания 
R,
высота 
Н
) отно­
сительно плоскости, проходящей через вершину параллельно основанию.

230
ГЛ. X II. МНОГОМ ЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
JC“
У 
2
3665. Тела, ограниченного эллипсоидом ^
ft ~\~
1 
11
плос­
костью 
Оху
относительно этой плоскости.
В задачах 3G66— 3672 найти центры тяжести однородных тел, 
ограниченных данными поверхностями.
3666. Плоскостями 
х
= 0, 
у =
0, 
z =
0, 
х —
2, 
у = 4
и 
х-\-у
-{- 
z =
8 
(усеченный параллелепипед).
3667. Эллипсоидом — 
~\~^=
1 п координатными плоскостями
(имеется в виду тело, расположенное в первом октанте).
3668.
Цилиндром 
z = ly 
и плоскостями 
„v = 0, у = 0, z = 0
и 
2х + Зу
—
12
=
0
.
3669. Цилиндрами 
у = ]/ гх, у = 2]/~х
и плоскостями 
z = 0
и 
х
-j- 
z
=
6
.
3670. Параболоидом z = A 
и сферой 
х*-\-у-
-|- ,г
2
= З а
2
(z&zO).
3671. 
Сферой 
х
1
-}- 
у-
-|- 
zl
=
R
'1
и 
конусом 
z tg я = У^х
'2
-}-
у
1 
(шаровой сектор).
3672. ( л '- + У + г ) - = а :,
2
.
В задачах 
3G73 
—
3674 
найти центры тяжести однородных поверх­
ностей.
3673. Части сферы, заключенной в первом октанте.
3674. Части параболоида 
х*
-{-
у г = 2z,
отсеченной плоскостью z =
1
.
В задачах 
3675 
— 
3680 
найти моменты инерции однородных тел 
с массой, равной 
Л-1.
3675. Прямоугольного параллелепипеда с ребрами 
а, Ь
и 
с
относи­
тельно каждого пз ребер и относительно пептра тяжести.
3676. Ш ара относительно касательной прямой.
3677. Эллипсоида ^ -}- 
ү.
-j- ~ =
1
относительно каждой из трех его 
осей.
3678. Прямого круглого цилиндра (радиус основания 
R,
высота 
Н ) 
относительно диаметра основания и относительно диаметра его среднего 
сечения.
3679. Полого шара внешнего радиуса 
R,
внутреннего г относительно 
диаметра.
3680. Параболоида вращения (радиус основания 
R,
высота 
Н
) отно­
сительно оси, проходящей через е:о центр тяжести перпендикулярно 
к оси вращения (экваториальный момент).

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: