§ 5. Н есоб ствен н ы е и н тегр ал ы . И н тегралы , зави ся щ и е

234
ГЛ, X II. М НОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3716. Можно ли так выбрать число 
т ,
чтобы несобственный интег­
рал С С - .
dx
—
распространенный па всю плоскость, был схо- 
. ' . ) / ( *
2
+ У Г 1’
ДЯІДИМСЯ?
В задачах 3717— 3719 вычислить несобственные интегралы.
ОО СО СО 
о э с о о э
372°- ш
3721
3717. ? ^ ? 
d x dydz^
_ 
3718
С С С 
xy dxdyd
.) ' '
у
(1 +JC4- V +
2)7
.) .) .'(1
+ x * + y - + z~)3
О
О
О
1 
\ S \
/ 
ООО
с о
о о
о о
3 7 1 9 * . J 
J 
I e - x-~y-~z-dxdydz.
— 0 0 — СО —
СО
В задачах 3720— 3722 выяснить, сходятся ли несобственные интег­
ралы, взятые по ш ару 2 радиуса 
R
с центром в начале координат.
dx dy dz
V (х- 
у* -{- z-)'1 In Vх- -\- у- -j- 2"
3722- S I S * + 7 + * r d x d yd z •
3723. Вычислить интеграл 
^\n(x'-\-y--}-z-)dxdydz,
где область
Q — шар радиуса 
R
с центром в начале координат.
3 724*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью 
z =  
=
(х г -\-у^) е~
*-v2+->’“) и плоскостью 
z =
0
.
3725. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью 
z =  
= х~у^(
г—(Л--
4
-
3
-) и плоскостью 
z =
0
.
3726. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью 
z =
0 и 
частью поверхности 
г = хе—{х~+У2\
лежащей над этой плоскостью.
3727. Дано однородное тело, ограниченное прямым круглым цилинд­
ром (радиус основания 
R,
высота 
Н,
плотность 
7
). Найти силу, дейст­
вующую на точку с массой 
т ,
находящуюся в центре основания 
цилиндра.
3728. Дано однородное тело, ограниченное прямым круглым кону­
сом 
(радиус основания 
R,
высота 
Н,
плотность 
7
). 
Вычислить силу, 
с которой тело притягивает точку массы 
т ,
помещенную в вершине 
конуса.
3729. Дан неоднородный сплошной шар радиуса 
R,
плотность кото­
рого 
у
связана с расстоянием от центра г соотношением ү =
а
— 
Ьг 
(а
> 0, £ > 0 ).
а) Найти константы 
а
и 
Ь,
если известно, что средняя плотность 
ш ара равна х
с,
а плотность на поверхности шара равна ү0-
б) Вычислить силу притяжения шаром точечной массы 
/п,
располо­
женной па поверхности шара.

И н т е г р а л ы, з а в и с я щ и е о т п а р а м е т р а .
П р а в и л о Л е й б н и ц а
§ 5. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩ ИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 
235
1
3730. Найти область определения функции 
f(x ) =
\
.) 
Ух
dz
Ух-
+
*
2
z
3731. Найти кривизну линии 
у =
^ 
da
в точке с 
абсциссой 
х =
1
.
ь
3732. Используя равенство ^ 
— J In (1 
ob)t
получить путем
дифференцирования по параметру следующую формулу: 
ь
С 
x d x
 
1 
ч 
Ь
3(1
+ алг)- 
а'~
) 
a(\-\-ab)'
и
ь
3733. Исходя из равенства \ ■
а 
= — arctg — вычислить интег-
J Q- 
Х~ 
(1 
Q
b
I* 
dx
рал J ( ^ + а3)3'
о
3734. Исходя пз равенства 
\
— -=,-г .
вычислить 
\ т-^г-т— ^тт,
J e- + Jf- 
2а ’ 
j (jc* + e*)«
о 
о
(п
— целое положительное число).
00
3735. Вычислить значение интеграла § 
e~axx n~i dx
(я — целое поло-
о
00
житсльное число) прп а ^ >
0
, найдя предварительно ^ 
с~ах dx.
о
3736*. Исходя из равенства (см. задачу 2318)
Р 
dx 
т.
 
(' 
dx
V 
~5
-з---тт;- . .. 
=
гг
,— ГГ >
НЭЙТИ
J
О
COS“ 
X
1 
; 1 
1
-j- 
b-
sin* 
х
 
2
| 
ab\ ’
J 
{a-
cos- 
х
-}- 
b'~
sin- 
х)~ '
о 
и
В
задачах 
3737
—
3749 
вычислить интегралы с помощью дифферен­
цирования по параметру.
со 
СО
3737. jj 
dx
(fi >
1). 
3738. (J 
1
~
d *
(a > -
1
).
и 
о

3
7
3
9
3
7
4
0
.
 
[
Іп 
dx
 
(я9< 1).
Л ' 
V
I - Л -
Х - V I - X-
236 
ГЛ. X II. МНОГОМ ЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
V 1
- Л- 
.] 
X- У
о 
о
го 
1
3741. 
3742. 
ln ( ! j L
dx
(а’ < 1 ) .
) x ( \ + x - )
i f l - X я
 
^
I) 
0 
r
3743
. 
[
M L +
a cos..xl dx 
(a-
<
1
).
) 
COS 
X
 
^
0
я
3744. f l n f ; + a s ln ^ ^ £ -
( a « < l ) .
j
\1
— 
a
 shi 
x)
sm 
x
 
v 
^
’
о
CO 
2 
CO 
______
-- —4 -----
dx
(a^> 0), зная, что 
е~пх' dx = ~ ~y --
(a ^ > 0 )
3745
о
(см. задачу 2439).
Г * 
p - a x *
_
p~b x ~
3 746*. V -----------------
dx
(a > 0, Z; > 0).
о
CO
n-ул-,*
С -ov sin k - sin a , 
, v. A4
3747*. V 
e ax
--------- --------
dx
(a > 0).
3748
. 
С 
e-axco$bx-coscx dx
( f l > 0 )
3749*. 5 ln 
(#2
cos
2
x
-j- 
&2
sin
2
x) dx. 
о
* 
r
2
* 
"2
3750. 
Вычислив интеграл ^ 
dx,
найти jj 
-^-^dx.
5 
и
i
3751. Используя равенство ^ 
xnd x = —
q r ^ i вычислить интеграл
и
\ ^ w f dx
о
ОО
3752. 
Используя равенство 
2а
^ 
е~а~х~ dx
=
У
тс (см. задачу 2439),
вычислить интеграл
оо / 
и ' '
Ь ~
\
^ 
А'“ — a **) dx.

00
3753. 
Из соотношения ^ 
e~z~ dz = Y^L
(интеграл Пуассона) вывести
о
00
1
2
С
.
равенство --^ г = —— 
V 
с~: ' х dz
( х ^ > 0 ) и использовать его для вычис-
V 
х 
у п .)
о
легшя интегралов (интегралы дифракции или Френеля):
ОО 
со
ч (* cos 
х dx 
С 
sin 
х dx
а) J
б) І Т Г -
о 
о
Р а з н ы е з а д а ч и
3754. Пусть функция / (
х)
непрерывна при 
л ' ^ О и при 
х-±оо
/(лг) 
стремится к конечному пределу 
/(с о ). 
Доказать при этих условиях,
ОО
что если 
«^>0
и 
Ь^>
0
, то 
^ 
t i - x)
.Т
IS- X1 d x
=
[ / 
(со) 
— / (
0
) ]
1
п — .
и
В задачах 3755— 3756 вычислить интегралы, пользуясь результатом 
задачи 3754.
ОО 
СО 
п п
37Б5_ f a r c l g ^ - j i r c t g t e ^
3756. ^ 
^
dx
(„ > 0 ).
о 
о
со
3757*. Пусть функция 
f(x )
непрерывна при 
и ^ 
~ ^ d x
схо-
Л
дится при любом Л > 0.
Доказать при 
этих условиях, 
что 
если а ^ > 0 и 
Ь^>0,
то
СО
^ 
— / (
0
) in 
(Ср. с задачей 3754.)
о
В задачах 3758— 3762 вычислить интегралы, пользуясь результатом 
задачи 3757 ( а ^ > 0 , 
Ь^>
0).
§ 
5. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩ ИЕ 
ОТ 
ПАРАМЕТРА 
237
с о
с о
С е~ах — е~Ьх ,
о-тел 
С cos 
ах
— cos 
Ьх .
3758. \ -------—------
dx
. 
3759. \ ------------ ----------
dx.
5 
о
3760. 
f s in .- ^ s in
bxdx
3761_ 
^
0
 
0
 
о
JC
3763*. Функция Лапласа Ф 
(х)
определяется так: Ф (л-) =
\ 
е
~('2
 dt
У
* 
$
(эта функция играет большую роль в теории вероятностей). Д о казаіь 
соотношения:

х  
„ 
^ 
СО
1
) 
С 
Ф 
(az) dz = е *
 
+ хФ (ах); 
2
) 
\
[ 
1
— Ф 
(х)] dx = - L
.
и 
*
у
* 
t 
у *
3 764*. Функции si (х) и ci (х) обычно определяются так:
со 
со
si (х) = — ^ 
~^-dt
(«интегральный синус») и c i(x ) = — ^ 
dt
(«ин-
А- 
л
тегральный косинус»). Доказать, что
со 
со
jj sin х si (х) 
dx =
 
cos х ci (х) 
dx =
 — 
.
и 
О
3765*. Функция 
J
q
(х), определяемая равенством
К
"2
Jo
(х) =
—
^ cos(xsinO)rfO, 
и
называется функцией Бесселя нулевого порядка. Доказать, что:
ОО
1) 
{ с~ах
 л
(X ) 
dx
= . j —
, 
(а
 > 0);
.} 
у
1
- f
и-
у , если 
а ^
1
;
238 
ГЛ. X II. МНОГОМ ЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
arcsinc, если | а | ^
1
;
— 
если 
а
^ — 
1
.
е-хг
3766. 
Доказать, что функция 
у =
^ у 
- 
dz
удовлетворяет диф-
и
ферепциалыюму уравнению 
у " -\-у
=
1
/х .
3 767*. Доказать, что функция 
у = \ (z~
—
\)n~*exzdz
удовлетворяет
—1
дифференциальному уравнению 
х у"
- |-
2пу'
—
ху =
0
.
оо
(* 
£* 
XZ
3768*. Доказать, что функция 
у =
^ ^ ^ р у /і+ і 
dz
удовлетворяет
и
дифференциальному уравнению 
х у"
—
2пу’ -\-ху =
1
.
3 769*. Доказать, что функция Бесселя нулевого порядка 
J
0
(x) =
~2
=
^ c o s ( x s in
0
)r
/0
удовлетворяет 
дифференциальному 
уравнению
о
i* ( 1
л (■*•) I / / »л 
п

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ 

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: