Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

3812. ^ 
2ху dx 
х ° dy
вдоль линии 
1
) 
у
=
х,
2
) 
у
=
х 2,
3) 
у
=
х ’л, 
(
0
.
0
)
4) 
у~
=
х.
-»3313. ^ 
у dx
-(- л: 
dy,
где 
L
— четверть окружности 
x = R co st, у =
L
=
R
sin 
t,
от 
= 0 до 
U =
тс/2.
3814. jj 
у dx
—
х dy,
где 
L
—
э л л и п с
х
=
a
cos 
t, y = b
sin 
t,
нробг-
L
гаемый в положительном направлении.
•у 3815. 
У
, где 
L
— полуокружность 
х = а
cos 
t, y= a s\ n t
L
o r 
ti
=
0
до 
to
=
3816. ^ (
2
a —
y) dx
— (a —
y ) dy,
где 
I
— первая (or начала коордн-
L
пат) арка циклоиды 
х = a (t
— sin 
t), y = a (
1
— cos 
I).
vj 3817. [ 
'——r~
— н г — » гДе 
L
— четверть астроиды x
= R
cos
31, у
=
J 
X J + y *
I.
=
R
sin
3
1
, or
точки 
(R,
0) до точки (0, 
R).
3818. 5 
x dx
-j- 
у dy -\- (x
-j- 
у
— 1) 
dz,
где 
L
— отрезок прямой, от 
/.
точки (1, 1, 1) до точки (2, 3 ,4 ).
\j3819. 
\yzdx-\-zxdy-\-xydz,
где 
L
— дуга 
винтовой 
линии
L
x = R co st, y = R sint, z = tr~,
от точки пересечения линии с пло­
скостью 
2
=
0
до точки ее пересечения с плоскостью 
z = а.
(». 4. -
1
)
3820. 
f 
Д 
(IX
1
~с1~
вдоль прямой линии.
3 
V T S + у 2 +
2
“ - х - у + 2z 
п.
I. 
1
)
'\j 3821. 
\y~dx-\-z~dy-\-x-dz,
где 
L
— линия 
пересечения сферы
L
х*
_|_
у*
_[- 
г*
—
R*
и цилиндра 
х--\-y- = R x (R^>
0, 
z^sQ),
обходимая 
при пнтегрировапни против часовой стрелки, если смотреть из начала 
координат.
Ф о р м у л а Г р и и а
В задачах 3822— 3823 криволинейные интегралы по замкнутым кон­
турам 
L,
взятые в положительном направлении, преобразовать в двой­
ные интегралы по областям, ограниченным этими контурами,
3822. § (1 — А'2) 
у dx
-j- 
х
(1 -f
-У2) (Ь ’-
L
3823. 
\ (exy
-{- 
cos 
y) dx
-j~ 
(exy
—
x i
sin 
y) dy.
L
§ 2. КРИ ВО Л И Н ЕЙ Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ ПО КООРДИНАТАМ 
243
(1. I)

3824. Вычислить двумя способами интеграл задачи 3822, если кон­
туром интегрирования 
L
служит окружность х
2
-f- д
/2
=
R 2:
1
) непосредственно, 
2
) с помощью формулы Грина.
3825. Вычислить 
^ ( х у х y ) d x ( х у х
— 
у) dy,
где 
L
: 1) эл-
1
липе ^ - j - p - = l ;
2
) окружность 
х'
1
-\-у- = ах.
Интегрирование ведется
в положительном направлении. (Вычисление провести двумя способами:
1) непосредственно, 2) с помощью формулы Грина.)
3826. Доказать, что интеграл
5
(Ух * 
еУ) 
(ХУЛ
- г
хеУ
— 
2
j/) 
dy
L
равен нулю, если 
L
— замкнутая линия, симметричная относительно 
начала координат.
3827. С помощью формулы Грина вычислить разность между инте­
гралами
/і = ^ 
(х
-f- 
y f dx
— 
(х
—
y f dy
Am В
И
h =
J 
(х
-(- 
y f dx
— (х — 
y f dy,
АпВ
где 
А т В
— отрезок прямой, соединяющей точки /
1
(
0
, 
0
) и 
В (
1
, 
1
), 
а 
АпВ
— дуга параболы 
у = х~.
3828. Показать, что интеграл
^ 
\х
cos (А/, 
х)
-(- 
у
sin (А/, л')} 
ds,
L
где (А/, 
х)
— угол между внешней нормалью к линии и положительным 
направлением оси абсцисс, взятый по замкнутому контуру 
L
в положи­
тельном направлении, равен удвоенной площади фигуры, ограниченной 
контуром 
L.
3829. Доказать, что величина интеграла ^ 
(2 х у
—
у) d x -\-х* dy,
где
I.
L
— замкнутый контур, равна площади области, ограниченной этим кон­
туром.
3830.
Д о к а з а т ь , ч т о и н т е г р а л ^ ср 
(j>) dx
-(- [ х у ' ( у )  -f- 
xs\ dy
р а н е н у т р о -
L
енному моменту инерции однородной плоской фигуры, ограниченной 
контуром 
L,
относительно оси ординат.
Н е з а в и с и м о с т ь и н т е г р а л а о т к о н т у р а
и н т е г р и р о в а н и я . О т ы с к а н и е п е р в о о б р а з н о й
В задачах 3831— 3835 проверить, что интегралы, взятые по замкну­
тым контурам, равны нулю независимо от вида функций, входящих 
в подынтегральное выражение.
244 
ГЛ. X III. КРИ ВО Л И Н ЕЙ Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ

3831. ^ <р (х) 
dx
- j -
1
|» ОО 
dy.
3832. ^ / (ху) 
{у dx-\-
x
dy).
L 
L
3833. С
L
3834. J [ / (* + j.) + / (x — j/)] 
dx + [f(x - \ - y )- f {x -
j-)l 
dy.
L
3835. 5 / (•** -j- 
У
1
"h 
z‘) (x dx
-j- 
у dy -\- z dz)-
i
3836*. Доказать, что интеграл 
взятый в положитель-
L
ном направлении по любому замкнутому контуру, заключающему внутри 
себя начало координат, равен 
2
-ic.
3837. Вычислить ^ 
\-'4у^~
пдоль окружности х
2
-|-_у
2= 1
в по­
ложительном направлении.
В задачах 3838— 3844 вычислить криволинейные интегралы от пол­
ных дифференциалов.
(2, 3) 
(2. I)
3838. 
^ 
У dx
" Һ
х ^У-
3839. $ 
2х у dx
-f- х
2
dy.
( -
1
.
2
) 
(
0
.
0
)
(5.J2)
3840. 
(начало координат не лежит на контуре инте-
(3." 4»
грирования).
О’з)
о с и
(* 
х dx 4 -у dy 
o
r .
3841. 
\ —
где точки 
P t
и 
Р
а расположены на копцентри-
(Pi)
ческих окружностях с центрами в начале координат и радиусами, рав­
ными соответственно 
Ri
и 
R 4
(начало координат не лежит на контуре 
интегрирования).
(2.1.3) 
(3.2,1)
3842. 
jj 
х dx
— 
у~ dy
-[- 
z dz.
3843. 
§ 
yz dx
-j- 
zx dy
- |-
xy dz.
(1. — 1.2) 
(1,2,3)
(5,3.1)
on л л 
I* 
zx d V -j- x y dz — yz dx (
3844. 
\
^ _ уzjs '
---------- (контур интегрирования не нересе-
(7.5.3)
х\
кает поверхности 
z = - j.
В задачах 3 8 4 5 — 3852 найти функции по данным полным диффе­
ренциалам.
3845. 
da = х° dx
-j- 
у 2, dy.
3846. 
du
= 4 (*- — 
у ’) (х dx
—
у dy).
3847. 
d u = (x + 2)’)i x t ydy .
<Х
+
y f
§ 
2. КРИ ВО Л И Н ЕЙ Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ ПО КООРДИНАТАМ 
245

3848. 
du =
— ; 
dx
—
( -
■===-) 
dy.
yV x*+ y* 
\ у-Ү х Ч -У ' '
3849. 
du = [ ^
? + x ]d x + [ w ^ - r - f ] d y .
3850. 
du = (2x
cos 
у
—
у
1
sin 
x) dx
-j- (2
у
cos 
x
—
x2
sin 
y) dy.
3851. 
d i ^ f ^ d x + ^
 + ljd y .
3852. 
du = (3* ~ x) 
^
.
(X+y)>
3853. Подобрать число 
n
так, чтобы выражение 
~
^
^
^
было полным дифференциалом; найти соответствующую функцию.
3854. 
Подобрать 
постоянные 
а
и 
Ь
так, 
чтобы 
выражение
Uj 
-
-j- 
2
ху 
-f ox-) dx
— (л
:2
+
2
х у 
+
by'1) 
dy ,
■
— 1
----- — ------ ^ vi: _[_ 
3
/-')- —
— 
было полным дифференциалом;
найти соответствующую функцию.
В задачах 3855 — 3860 найти функции по данным полным диффе­
ренциалам.
3855
. 
dll = “ x + dy + clz
_ 
3856
du
=
xdx + y d y + z iz
_
x + y + z 
ух- + у + Z-
3857.
d« = y lix + * ld? ± x:>d* .
1 -|- Х-у-z-
3858. 
dll = * 
~ У* d *),
( х —уг)-
3859. 
di, = d x - ? -^ + ^ - x + z' dz.
Z 
1 
Z-
3860. 
du =
c=e~dx-\-
-J- 
ze
yzj
dy
-|- ^
-
j
-
yeyz
-}- 
e ~ d z .
246 
ГЛ. XIII. 
кри в о л и н ей н ы е
и н тегра л ы
П р и м е н е н и я и н т е г р а л о в
В задачах 
3861 — 38G8 
вычислить при 
помощи криволинейного 
нктеграла площади фигур, ограниченных замкнутыми линиями.
3861. Эллипсом 
х = a cost, y = b
sin 
t.
3862.
Астроидой 
A' =
a c o s :) 
t, у = а
sin 3£.
3863. Кардиоидой 
х = 2а cost
— 
acos2t, у = 2а
sin 
t
—
a
sin 2
1.
3864*. Петлей декартова листа г ! -J- 
у л
—
Заху
= 0.
3865. Петлей линии 
(х -\- у)л = ху.
3866. Петлей линии 
( х yif = х~у.
3867*. Лемнискатой Бернулли (х
2
- f -
y~f =
2
аг
(л
:2
—
у-).
3868. Петлей линии 
(У х
-|- 
У у ) 1* = ху.

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: