§ 3 . И н тегр ал ы по п о вер х н о ст и

2-18
ГЛ. X III. КРИ ВО Л И Н ЕЙ Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ
3877. 
\^xyzdq,
где S '— часть плоскости 
х
-f- 
у
-}- 
z
= 1,
5
лежащая
в первом октанте.
3878. 
dq
, где 5 — часть сферы 
х- -\- у- 
z
1
 = Rr,
лежащая в п ер -
s’
вом октанте.
^3 8 7 9 . ^
у dq,
где 5 — полусфера 
z = Y R -
— х
'2
— 
у 1.
3880. 
V
—
х “
—
У
1
 dq,
где S — полусфера 
z = У R*
—
х-
—
у'1.
3881. ^
x^y-dq,
где S’— полусфера 
z = y R-
— 
х-
—
у 1.
s
3882.
у
у,
, где S’— цилиндр 
х~ 
у
1
=
R-,
ограниченный плоско­
стями 
z
=
0
и 
z = H,
а г — расстояние от точки поверхности до начала 
координат.
3883. ^ \
где 5 — сфера л
;2
-\- у~
-j- 
z
1
 = R-,
а г — расстояние от
4 5*
точки сферы до фиксированной точки 
Р
(0, 0, 
с)
(с 
R).
3884. у у - , где S — часть поверхности гиперболического парабо­
лоида 
z
=
ху,
отсеченная цилиндром 
x ‘ -\-y
2
 = R'\
а г — расстояние от 
точки поверхности до оси 
Oz.
3 885*. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой 
точке равна расстоянию этой точки от некоторого фиксированного диа­
метра сферы.
3886. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой 
точке равна квадрату расстояния этой точки от некоторого фиксиро­
ванного диаметра сферы.
П о в е р х н о с т н ы е и н т е г р а л ы п о к о о р д и н а т а м
В задачах 3887 — 3893 вычислить поверхностные интегралы.
3887. 
х dy dz
-(- 
у dx dz
-j- 
z dx dy,
где 5 — положительная сторона 
s
куба, составленного плоскостями х =
0
, 
=
0
, 
z =
0
, 
х = \ , у = \ ,z =
1
.
3888. ^
x-y-zdxdy,
где S'— положительная сторона нижней поло-
s
вины сферы 
хг 
у-
-j- 
z
1
=
R'1.
^3889. 
г 
dx dy,
где S' — внешняя сторона эллипсоида 
—
- { - \
=
1
.

§ 3. ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
249
3890. ^
z-dxcly,
где 
6
"— внешняя сторона эллипсоида ^
~
а
—
3891. ^ \ 
xz dx dy
—
j—
ху dy dz
—
j—
yz dx dzy
где S’ — внешняя сторона 
s
пирамиды, составленной плоскостями jt =
0
, y =
0
, 
z =
0
и 
x-\-y-\- 
- j-z =
1
.
3892. U 
yz dx dy
- |-
xz dy dz
- |-
x y dx dz,
где S — внешняя сторона
s
поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из ци­
линдра 
x--[-y~ = R ’
н плоскостей , v =
0
, 
у
=
0
, 
z
= 0 и 
z — Н.
3893. 
\ \y-z dx dy
- |-
xz dy dz
- |-
х у dx dz,
's
где S’— внешняя сторона поверхности, рас­
положенной в первом октанте и составлен­
ной нз параболоида вращения 
z = x--\-y~, 
цилиндра 
х--\-у~=
1
и координатных пло­
скостей (рис. 
68
).
Ф о р м у л а С г о к с а
3894. Интеграл J 
-|- 
z~) dx
-|- (а
:2
-j-
I.
-(- z~) d y-\-(х~-\-у'1) dz,
взятый по некото­
рому замкнутому контуру, преобразовать с помощью формулы Стокса 
в интеграл по поверхности, «натянутой» на этот контур.
3895. Вычислить интеграл 
\ х
1
у л d x d y -\-z dz,
где контур 
L
—
/.
окружность 
x~-\-y- = R~, z =
0
: а) непосредственно и б) используя ф ор­
мулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу 
z
= - ) -
У R *
—
х-
—
у 2. 
Интегрирование по окружности в плоскости 
хОу
ведется в положитель­
ном направлении.
Ф о р м у л а О с т р о 
1
' р а д с к о г о
3896. Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности преобра­
зовать с помощью формулы О строградского в тройной интеграл по
объему тела, ограниченного этой поверхностью: 
\}х‘ dy d z-\-у
1
 dx dz-\-
's
-j-z
2
dx dy.
Интегрирование ведется но внешней стороне поверхности S'.
3897. Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности преобра­
зовать с помощью формулы О строградского в тройной по объему 
тела, ограниченного этой поверхностью:
V x
'1
- f у-
-j- z*
{cos (N, x)
-f- cos (N , y )
-J- cos (N,
г)) da,
\s
где 
N
— внешняя нормаль к поверхности S.

3898. Вычислить интеграл задачи 3897, если £ — сфера радиуса 
R 
с центром в начале координат.
3899. Вычислить интеграл
^
[х*
cos (А/, 
х)
-j- 
у
9
cos 
(N, у)
-j- 
z
3
cos (Л/, 
z
) ] 
da,
s
где S — сфера радиуса 
R
с центром в начале координат, а 
N
— внеш­
няя нормаль.
3900. Вычислить интегралы в задачах 3891 — 3893, применяя ф ор­
мулу Остроградского.
250 
ГЛ. X III. КРИ ВО Л И Н ЕЙ Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ

Г Л А В А XI V
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Уравнения первого порядка
У р а в н е н и я с р а з д е л я ю щ и м и с я п е р е м е н и ы ми
В задачах 3901— 3910 найти общие решения дифференциальных 
уравнений.
3901. 
(х у
1
-{- 
х) dx
—
|—
(у
—
х у ) dy =
0.
3902. 
х у /
= 1 —
х\
3903. 
у / =
3904. у tg
х
—
у
=
а.
3905. 
ху'
-}- 
у
=
у\
3906. У + У | в $ = 0-
3907.; 
У
1 — 
у- dx -\- у У
1 —
х
1
 dy =
0.
3908. 
(1 + ~ ) = 1. 
3909. У = 1
0Х+У.
3910. У
-\-
sin 
х у =
sin 
х 
у .
3911. Зависимость между скоростью 
v
снаряда и пройденным путем 
/ в канале орудия устанавливается в баллистике следующим уравнением:
oln 
dl 
^
1
,. ..
v = b 
-р,
где 
v =
11
/г < \1 - Найти зависимость между временем 
t
движения снаряда и пройденным расстоянием 
L
по каналу.
3912. Если 
х
— количество иодисто-водородной кислоты //./, раз-
, 
idx\
ложившееся к моменту времени 
t,
то скорость разложения 
опреде­
ляется дифференциальным уравнением 
=
~
( v ) ’ где Ль
Л
\2
и 
v
— постоянные. Проинтегрировать это уравнение.
В задачах 3913— 391 в найти частные решения дифференциальных 
уравнений, удовлетворяющие данным начальным условиям.
3913. У sin j r = j » l n jr, 
у
I 
~ — с.
3914. y = i ± £ ; > U _ „ =
1
.

252
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л ЬН Ы Е УРАВН ЕН И Я
39 lo . sin Д'cos л: г/у = cos .у sin 
xdx\ у
|_v==
0
= j .
3916. 
у
—
ху
=
Ь
(1 -|- 
х*у'); у
| 
х
= j =
1
.
3917. Найти линию, проходящую через точку (
2
, 3) и обладающую 
тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между 
координатными осями, делится пополам в точке касания.
3918. Найти линию, проходящую через точку (
2
, 
0
) и обладающую 
тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осыо 
ординат имеет постоянную длину, равную двум.
3919. Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой 
касания и осыо абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью 
ординат.
3920. Найти все линии, у которых подкасательная пропорциональна
абсциссе точки 
касания (коэффициент пропорциональности равен 
к).
3921. Найти линию, проходящую 
через точку 
(а,
1
) и имеющую
подкасательную постоянной длины 
а.
3922. Найти линию, у которой длина нормали (отрезок ее от 
точки
линии до оси абсцисс) есть постоянная величина 
а.
3923. Найти линию, у которой сумма длин касательной и подкаса- 
тельной в любой ее точке пропорциональна произведению координат 
точки касания (коэффициент пропорциональности равен 
к).
3924. Найти линию 
y = f ( x ) ( J ( x ) ^
0, / ( 0 ) = 0), ограничивающую 
криволинейную трапецию с основанием [
0
, л*], площадь которой про­
порциональна 
(п
-j- 
1
)-й степени 
f(x ).
Известно, что / (
1
) =
1
.
3925. Материальная точка массой в 1 
г
движется прямолинейно под 
действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от 
момента £ =
0
, и обратно пропорциональной скорости движения точки. 
В момент 
i
= 10 
сек
скорость равнялась 0,5 
м/сек
, а сила — 4 - 1 0 '3#. 
Какова будет скорость спустя минуту после начала движения?
3926. Материальная точка движется прямолинейно, причем так, что 
ее кинетическая энергия в момент 
t
прямо пропорциональна средней 
скорости движения в интервале времени от нуля до 
t.
Известно, что 
при 
t =
0 путь s = 0 . Показать, что движение равномерно.
3927. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 
v =
Ю 
км/час.
На полном ходу ее мотор 
был выключен, и через 
t =
20
сек
скорость лодки уменьшилась до 
vy
= 6
км/час.
Считая, что си­
ла сопротивления воды движению лодки пропорциональна ее скорости, найти 
скорость лодки через 
2
мин
после остановки мотора; найти также рассто­
яние, пройденное лодкой в течение одной минуты после остановки мотора.
3928. В дне цилиндрического сосуда с поперечным сечением S’ и 
вертикальной осыо имеется малое круглое отверстие площадью <
7
, за­
крытое диафрагмой (как у объектива фотоаппарата). В сосуд налита 
жидкость до высоты 
Һ.
В момент / = 0 диафрагма начинает открываться, 
причем площадь отверстия пропорциональна времени и полностью от­
верстие открывается за 
Т сек.
Какова будет высота 
Н
жидкости в со­
суде через 
Т сек
после начала опыта? (См. задачи 2701— 2706.)

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: