§ 1. Двойные и тройные интегралы

3471. ^ (x-\-\)y do, где D — квадрат 0^х==^2, 0 < :у < :2 .
218 
ГЛ. X II. М НОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3472. ^ jj (х 2 -{- f" — 2 У х -  -j- У' -j- 2) da, где D — квадрат Oss:х ^ 2,
D
0 < у < 2.
3473. ^ jj (х~ -]- у 2 — 4х — 4у-\-10) da, где D — область, ограничен-
D
пая 
э л л и п с о м
х~-\-4уп
-— 2х — 1 б j/ —
J— 13 = 0 (включая границу).
3474. J ^ ( х * у * z*) dv, где 2 — шар х 2 -[- yr -f- Z‘ ^ R-.
* 
2
3475. ^ ^ (х-\-у-\-z)dv, где 8 — куб х ^ І , у ^  1, z ^ l , х ^ З ,  
У ^ З , zs^3.
3476. .У— z-\-\0)dv, где 2 — шар 
х2 
у- -j- z- 
3.
2
§ 2. Кратное интегрирование
Д в о И н о й и н т е г р а л . П р я м о у г о л ь н а я о б л а с т ь
В задачах 3477 — 3484 вычислить двойные интегралы, взятые по
прямоугольным 
областям 
интегрирования 
D, заданным условиями
в скобках.
3477. ^ ^ ху dx dy 
' ( 0 < x < 1, 0 ^ у  ^ 2).
J  3478. ^ ^ ех*у dx dy 
(0 
х < 1, 0 ^ у ^  
1).
о
3479. jj ^ ^ + У
й^
(O ^ x ssS 1, 0 sg:у  ^
1).
J s(0 ' 
>' 0 
<
')■
3481. Г Г ---
y d x d y ^
(О й й х ^ і, 0 
у ^ 1).
J J (1+ ^ + У )7
D
3482- у х  sin (х -{- у) dx dy 
(о 
і
^
х
^  тг, 0 ^ у  ^ у j .
3483. 
§ х у е ху dx dy 
(0 ^ х  ^ 1, 
0 <; у ^ 2).
*о
3484. ^ 
х-у cos (ху2) dx dy 
х ^ у , 0 ^ у ^ 2j .

Д в о И п о И н и т е г р а л. П р о и з в о л ь н а я о б л а с т ь
В задачах 3485 — 3497 найти 
пределы 
двукратного интеграла
\ jj / (х, y )d x d y  при данных (конечных) областях интегрирования D.
Ъ
3485. Параллелограмм со сторонами
х = 3, х  = 5, дх — 2_у —
|— 4 = 0, 
Зх — 2у  -[- 1 = 0 .
U 3486. Треугольник со сторонами л' = 0, у = 0, х-\-у =  2.
3487. j r - f / < l , х ^ О ,  j/ ^ 0 . 
vj 3488. лг-[-_у 
1, х — у  гьС 1, х ^ О .
3489. у 
х 1, у  
4 — X х.
3490. 
+
3491‘ (х — 2) Ч - 0 — 3)2< 4 .
3492. D ограничена параболами у = х~ и у = ]/гх.
3493. Треугольник со сторонами у = х , у = 2х и х -\-у =  6.
3494. Параллелограмм со сторонами _y = „v, у = х-\- 3,_у = — 2jcr — 1, 
у  = — 2х -|- 5.
3495. у  — 2 x ^ 0 ,
2
у  — х  ^ 0, ху ^ 2.
3496. у°- 
8х, у  ^ 2х, у-\-Ах — 24 ^ 0.
3497. D ограничена 
гиперболой 
у 5 — дг2= 1
и 
окружностью 
jvt2 —
j—
= 9 (имеется в виду область, содержащая начало координат).
В задачах 3498 — 3503 изменить порядок интегрирования.
1 
УУ 
у 
1 
Ү Т ^
3498. J dy 5 f ix , y)dx. 
ч\ 3499. 
dx 
f(x , y)dy.
0
у  
-
1
0
______
r 
Y'lrx — x
\ 
2 
V
2
3500. J dx 
A-*» JO dy. 
: 3501. $ rfjf 
jj 
/(лг, _y) 0 
'v 
“ 2
/2
2 
2.v 
2 
С- Л-
3502. J dx J f {x , y ) dy. 
\ 
3503. \dx $ f (x ,y )d y .
1 
x
0 
2x
3504. 
Переменив порядок интегрирования, записать данное выраже­
ние в виде одного двукратного интеграла:
1 
л- 
2 
2 — х
1) J dx J f (x , у) dy + J dx jj f ix , у) dy;
0 
0 
1
0
3 - x
1 
Л-2 
3 
2
2) 5 dx 5 f ix , y) dy -|- 5 dx 
$ 
f(x, y ) dy;
0 
0 
1
0
\ 
x ^
2 
1 - Y  -i.v — .V- — 3
3) \dx 5 fix , y)dy-\-\dx 
5 
fix , y)dy.
0 
0 
1
0
§ 
2. КРАТНОЕ И Н ТЕГРИРО ВАНИЕ 
219

3505. Представить двойной интеграл ^ 
,y )d x d y , где D — области,
'п
указанные на рис. 02, 63, 64, 65, в виде суммы двукратных интегралов
220 
ГЛ. X II. МНОГОМ ЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(с наименьшим числом слагаемых). Фигуры, показанные на рис. 64 и 65, 
составлены из прямых линий и дуг окружностей.
В задачах 3506 — 3512 вычислить данные интегралы.
3507. ^ х'лу-dx dy, D — круг x l -|~У~ 
f\l.
o'
3508. ^ ^ (л*'2 -\-у) dx dy, 
D — область, 
ограниченная 
параболами 
у  — х 2 и у - = х .
j 3509. ^ 
dx dy, 
D — область, ограниченная прямыми х = '
2
, 
' о
у - = х  и гиперболой х у — \.
3510. 
cos (х -|- у) dx dy, 
D — область, 
ограниченная 
прямыми
D
х =  0, у =  тг и у = х.

, 3511. ^ 5 V 1 — -^2 — V" dx dy, D — четверть круга х'2 -J-^2 
1, ле-
D
жащая в первом квадранте.
3512. 55 
V 1 —
х 3
— Ул dx dy, D — область, ограниченная линией
D
j;3-j-.y3= l и осями координат.
3513. Найти среднее значение функции z =  12 — 2 х — 3у  в области, 
ограниченной прямыми 12 — 2 х— Зу = 0, х =  0, у  = 0.
3514. Найти среднее значение функции z = 2x-j-y в треугольнике, 
ограниченном осями координат и прямой х-\-у —  3.
3515. Найти среднее значение функции z = x - \ -
6
y  в треугольнике, 
ограниченном прямыми у = х, у = Ьх и х = \ .
3516. Найти среднее значение функции z = V^R
2
— х-— у
1
в круге
Т р о й н о й и н т е г р а л 
В задачах 3517 — 3524 вычислить интегралы.
1
2
3 
а 
Ь 
с
3517. \d x\ dy 5 dz. 
3518. 5 dx 5 dy 5 (x -| - у  -j- z) dz.
o o o
0 0 0
a 
x 
v 
a 
x 
.vy
3519. 5 dx 5 dy 5 xyz dz. 
3520. ^dx^dy 5 x'-'y'z dz.
o o o
o
o
o
с —* 1 
с — -v— I 
A'+v-f-e
§ 
3. Ц ИЛИНД РИЧЕСКИЕ И С Ф ЕРИ ЧЕС КИ Е КООРДИНАТЫ 
221
48521. ^ dx 
$ 
dy 
$
0 
0 
e
3522. J J ^ \x 
^ — область, ограниченная плоскостями
x = 0, у  = 0, z = 0, х —
f—
у —
j—
z = 1.
•sj 3523. \ \ [x y d x dy dz, й — область, ограниченная гиперболическим 
<2
параболоидом z = xy и плоскостями х - \ - у =  1 и z =
0
 
(z^z 0).
3524. 5 5 5 
У
cos (z -{-
х )
dx dy dz, Q — область, ограниченная 
ди-
<
г
линдром y = Y ~ x  и плоскостями у =
0
, z =  0 и х -\- z = к /
2
.
§ 3. Интегралы в полярных, цилиндрических 
и сферических координатах
Д в о й н ой и н т е г р а л
В задачах 3525— 3531 перейти в двойном интеграле 55 f ( x , y ) d x d y
о
к полярным координатам р и ср (х = р cos f , у  = р sin ср), и расставить 
пределы интегрирования.

3525. D — круг: 1) х2 + у
1
< R\ 2) х2+ У < ах; 3) xs -j- У < ft v.
3523. D — область, ограниченная окружностями 
х2 -)- у
1
= 4х,
х2-|-У = 8х и прямыми у =  х и _у = 2х.
3527. 
D — область, являющаяся 
обще» 
частью днух 
кругов
х 2 -|- У ^ ах и х2 -\- У < by.
3528. D — область, ограниченная прямыми
у = х, 
у =  0 
и 
х —  1.
3529. D — меньший пз двух сегментов, на которые прямая x-f- У = 2 
рассекает круг x2-f-y=^4.
3530. D — внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли 
( х * + У )2 = а2(х2- У ) .
3531. D — область, определенная неравенствами х ^ О ,
(х2 -j- У )3 ^ 4а2х 2У
В задачах 3532— 3535 двойные интегралы преобразовать к поляр­
ным координатам.
r
 
V
w
-
a
-
j
 
2R 
Y i Ry-y*
3532. jjf/x 
J f(x , у) dy. 
3533. \ dy 
j 
/(x, y)dx.
o
o
 
‘А 
0
2
R 
Y 
R- -x-
3534. 5 dx 
5 
/ (x2 
y ) dy.
о 
о
R
Y 
ч -n’- R
x
 
R 
Y
r
- — jc
2
3535. 
d x \ f { ± ) d y +  
jj 
dx 
І
f U ) d y .
6 
6 
X 
(»
V'T+7^
В задачах 3536— 3540 вычислить с помощью перехода к полярным 
координатам двойные интегралы.
R 
V
r
*-
x
*
3536. J dx 
J 
In (1 -|- х2 -f У ) dy
о 
о
_________
3537. ^ ^ | / j 
_|_“у/ dx dy, где область D определяется неравен-
*D
стпами х2 - р У
1, х
0, у
2
$: 0.
3538. \\ili — 2х — 3_у) dx dy, где D — круг х2 -j- у 2 ^ R\
о 
_____________
3539. ^ $ V R
1
— х‘2 — У dx dy, где D — круг х2 -у- 
Rx.
D
3540. jj 5 arctg — dxdy, где D — часть кольца 
о
222 
гл. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: