Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f


§ 3. ДИФФЕРЕНЦ И АЛ. Д ИФФЕРЕНЦ И РУЕМ О СТЬ ФУНКЦИИ



Pdf көрінісі
бет40/146
Дата06.02.2022
өлшемі9,73 Mb.
#80743
түріСборник задач
1   ...   36   37   38   39   40   41   42   43   ...   146
Байланысты:
Berman Sbornik


§ 3. ДИФФЕРЕНЦ И АЛ. Д ИФФЕРЕНЦ И РУЕМ О СТЬ ФУНКЦИИ 
65
1) 0,25 V x ;
2) 0,2 ’
4)

1
4a'1’ 
2Vx ’
6)
I
tl 
V х 
'
7)
СО
р 
,
(ІХ’
9) т ~
J )
A'0.
я 10 m + n 
V x
;
11
)
( X -
-
1
-
4
*
+
1) (x - - V x )\
12)
х*
+ 1
А'3 —
1

13
)
1


t* ’
14) (1+лг-— x-f;
15) tg- x

16) 5 Hi 
l g V.
17) 2 cosл ; 18) 
In 
tg 
 
19) ; 20) ^arcsin  
- j-
(arctg*)3;

7
21) 3 arcsin 
a

— 4 arctg x
-J- -,j arccos 
at

arctg лг;
22) 3 *2-j- Злг3 — 4 V x .
890. Вычислить значение дифференциала функции: I) у =  
Л„^_-рр
^
0 1 
«V
при изменении независимой переменной отлг= 
до л* =
2) у = cos-?
при изменении ср от 60° до 60° 30'; 3) у =  sin 2ср при изменении ? от 
г. 
6 1 т : . .

,, 
П 
01л 
О
~6 д0 360’ 
^ У =  s п ? ПРП измеие,,ни ? ог -гг до .5W); о) у =  sin ^
л
г.
 
6 1 л
при изменении 0 от 
до
3
Г . Н . Б ер м а н


66
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И Д ИФФЕРЕНЦ И АЛ
v\ 891. Найти приближенное значение приращения функции у =  sin# 
при изменении # от 30° до 30° Г- Чему равен sin 30° Г ?
892. Найти приближенное значение приращения функции у =  tg# 
при изменении # от 45° до 45° 10'.
893. Найти приближенное значение приращения функции у =
4- cos х 
я 

1
= -r J ----- при изменении # от 
до -тг + тт^.
1— cos А' 
г __________________
6 3 100
894. p = k У  cos 2ср; найти dp.
J . 1
895. у  — 3-v “г"2-А‘ -{- 6^*. Вычислить dy при # = 1 и г/# — 0,2.
896. Вычислить приближенно sin 60° 3', sin 60° 18'. Сопоставить полу­
ченные результаты с табличными значениями.
1 -4- In к
897. Проверить, что функция у =  v _ / v; ^ у удовлетворяет соотно­
шению 2х°- dy = (х~у- -j- 1) dx.
898. Проверить, что функция у , определенная уравнением arctg -^ =
= In У  #~ -[-у 1, удовлетворяет соотношению # (dy — dx) — у (dy -f- dx). 
^ 899. / (# ) = . Подсчитать приближенно /(1,05).
900. Вычислить arctg 1,02; arctg 0,97.
901. Вычислить приближенно 
_|_ 5*
902. Вычислить приближенно arcsin 0,4983.
903. Если длина тяжелой нити (провода, цепи) (рис. 25) равна 2s, 
полупролет — 
а стрелка провеса — /, то имеет место приближенное 
равенство
а) Подсчитать, какое изменение произойдет в длине нити при изме­
нении ее стрелки провеса / на величину df.
б) Если учесть изменение длины провода ds (например, от измене­
ния температуры или нагрузки), то как изменится при этом стрелка
провеса?
904. 
Сравнить погрешности при нахождении угла по его тангенсу 
и по его синусу с номощыо логарифмических таблиц, т. е. сопоставить
точность нахождения угла # по фор­
мулам lg sin # = _у 
И 
lg tg  = z,
если у  и z даны с одинаковыми по 
грешностями.
905. При технических расчетах 
часто сокращают % и у g (g — уско- 
Рис. 25. 
рение силы тяжести), когда одно
пз этих чисел стоит в числителе, 
а другое — в знаменателе. Какую относительную погрешность делают 
при этом?


'4 906. Выразить дифференциал сложной функции через независимую 
переменную и ее дифференциал:
\) у = Ү X * Ь х \ х = Р  —
J- 2 t-j- 1; 2) s = c o s '2r, z = -—
3) г = arctgv, v = - ^ ;  4) v = 3 x, at = In tg s;
5) s = es, z = ~  hi t, t = 2ir — 3// -[■ U
6) у = In tg 
, и =  arcsin v, v = cos2s.
Д и ф ф е р е н ц и р у е м о с т ь ф у и к ц ий
907. Функция у = | х  | непрерывна при любом х. Убедиться, что при 
х = 0 она недифференцируема.
908. Исследовать непрерывность и дифференцируемость функции 
у = \хл | при # = 0.
909. Функция /(х) определена следующим образом: / (х )= 1 - |- х
для х ^ 0; / (х) = х  для 0 <[ х 
1; /(х) = 2 — х для 1 
х ^ 2 
и / (х) = Зх — х “ для х ^ > 2. Исследовать непрерывность /(х) и выяс­
нить существование и непрерывность /' (х).
910. Функция у =  |sin х\ непрерывна при любом х. Убедиться, что 
при х =  0 она недифференцируема. Имеются ли другие значения неза­
висимой переменной, при которых функция недифферепцируема?
911. Исследовать непрерывность и дифференцируемость функции 
у = е ~ \ х[ при х = 0.
912. / (х) = х~ sin
нри х ф  0, /(0) = 0. Будет ли функция f ix ) 
дифференцируемой при х = 0?
913. / ( х ) = ^ 
при х ^ 0 , /(0) = 0. Будет ли функция/(х)

х
при х = 0 непрерывной и дифференцируемой?
914. Дана функция / ( х ) = 1 -j-Ү ( х — I) 3. Показать, что при х = 1
из приращения функции нельзя выделить линейную главную часть, 
и поэтому f ix )  при х = 1 не имеет производной. Истолковать резуль­
тат геометрически.
915./(х ) = х arctg 
при х ^ О , / (0) = 0. Будет ли функция /(х)
при х = 0 непрерывной? дифференцируемой? Истолковать результат 
геометрически.
916. 
/ (х) = -^Ц- при х ф  0 и / (0) = 0. Будет ли функция f ix )
\ + е х
при х = 0 непрерывной? дифференцируемой?
3*

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   36   37   38   39   40   41   42   43   ...   146




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет