§ 1. Функции нескольких переменных
2953. Выразить объем z конуса как функцию его образующей х и
высоты у.
2954. Выразить площадь 5 треугольника как функцию его трех
сторон х, у, z.
2955. Составить таблицу значений функции z = 2 х — Зу -J- 1, даная
независимым переменным значения от 0 до 5 через единицу.
2956. Составить таблицу значений функции z = у х- -4-У', давая
независимым переменным значения от 0 до 1 через 0,1. Значения функ
ции вычислять с точностью до 0,01.
2957. Найти значение функции:
п г — f
arctg(х + У)Ү
прп
1_-Кз-.
1)
Z
—
\aTClg(x
— y ))
Р
2
’
3
2
’
2) z = esin(л'+-'')
при х = у = ~ ;
3) г — у х
2
~ х-}-хУ--]
при х =
2
, у =
2
; х = \ , у =
2
; х =
2
,
у = 1.
2958. Дана функция
F { v „ ч
__
У
(А-)
<
\>
(у)
— Ъ (А-) у ( у )
К ’ У )~
<
Р (ху) 4, (ху)
Найти F (а, 1/а). В частности, положить (р(н) = н3, ф (гг) = г/2 и под
считать F (а, 1/л).
2959. Дана функция F (х, у ) = у х —
ху. Если х и у меняются
с одинаковой скоростью, то какая функция при л: = 3, у = 2 растет
быстрее: та ли, которая получается из F при фиксированном у (ме
няется только х), или же та, которая получается при фиксированном х
(меняется только у)?
2960. Дана функция
J4-*
у, г) = у* — (_v cos z
г cos у) х -j- х>'~г.
Переменные у и 2 сохраняют фиксированные значения у
0
и z0f причем
уй = 'дг0. Что представляет собой график функции
y Q, 20)?
Является ли ср (лг, у, z): 1) рациональной функцией от у ? от z ? 2) целой
функцией от х ?
2961*. Функцию z = f ( x , у), удовлетворяющую тождественно соот
ношению
f(m x,m y) — mkf ( x t y) при любом т ,
называют однородной функцией к-го порядка. Показать, что однород
ная функция к-го порядка z = f ( x , у) всегда может быть представ
186
ГЛ. X. Д ИФФЕРЕНЦ И АЛ ЬН О Е ИСЧИСЛЕНИЕ
:**/>(£
2962. Однородность функции любого числа независимых переменных
определяется аналогично функции двух переменных: например, /(лг, у, z) —
однородная функция к-го порядка, если
f(m x , т у , mz) = mkf (лг, у, z) при любом т .
Также имеет место свойство:
П х , у , г ) = * х ‘ғ ( ± , i ) ;
доказать его.
2963. Проверить, что функция z = F (x , у) = ху удовлетворяет
функциональному уравнению
F (ах -f- bu, cy-\-dv) = acF (лг, у) -J- ЪсҒ (и, y)-\~adF(x, v)-\-bdF(u> v).
2964. Проверить, что функция z = F (х, у) = \п х\п у удовлетворяет
функциональному уравнению
F (ху, uv) = F (x , и) -{- F (лг, v)-\-F(y, u)-\-F(y, v)
(л', у, и, v положительны).
2965. Из уравнения
—
J— ~ = 1 определить ^ как явную функ
цию лг и у. Будет ли функция однозначной?
2966. Дана сложная функция z = uv, где и = х -\-у, v = x — у.
Найти значение функции: 1) прп лг = 0, у = 1; 2) при л г = 1, _ у = 1;
3) при л: = 2 , у — 3; 4) прп л' = 0, j/ = 0; 5) при лг = — 1, у = — 1.
2967. z = ll-
; u = w t, v = w~t\ w = Y х у , t = 2 ( x — у). Вы
разить гг непосредственно в виде функции от лг и у. Является ли z
рациональной функцией от и и v? от w и t? от лг и у ?
2968. Яапа
сложная
функция
z = uw -(- w u+v,
где
и = х-\-у,
v = x — у, w = xу. Выразить .г непосредственно в виде функции от
лг и у.
П Л „ Л
/»- I
ti
т
t
е<" ~Ье*
с<° — ^
2969.
и = (с -j- Tj) — Е3 — i f ;
I = —
7
}— ,
f] — — г?— ;
ш = 1п (лг2
У +
? — 2 1п (лг -J- у -j- z). Выразить и непосредственно
§ 2. П РО СТЕВШ И Е СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
187
в виде функции от лг, у и z. Является ли и целой рациональной функ
цией от 5 и т;? от ш и ср? от х, у, z?
2970. Сложную функцию
представить в виде «цепочки» зависимостей из
двух звеньев.
2Э71. Исследовать методом сечений график функции z = -^(x~— у-).
Что представляют собой сечения плоскостями х = const? у = const?
z = const?
2972. Исследовать методом сечений график функции z = x y . Что
представляют
собой
сечения
плоскостями лг= const?
у = const?
2 = const?
2973. Исследовать методом сечений график
функции z = y ~ — х л.
2974. Исследовать методом сечений график
функции
г3 = ах- -j- by- (а
0, Ь^> 0).
Достарыңызбен бөлісу: |