Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 4. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВА Н И Е Ф УН КЦ И Я
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 4. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВА Н И Е Ф УН КЦ И Я 197 3165. Показать, что, какова бы ни была дифференцируемая функ ция из соотношения со (с х — az, с у — ^ ) = 0 следует: 3166. F (х, у, z )= 0 . Доказать, что 3167. Найти полный дифференциал функции .г, определяемой урав нением COS' X -j- COS' у -f- cos- z = 1. 3168. Функция 2 задана параметрически: х = и-\-v, у = и — v, z = uv. Выразить z как явную функцию от х и у. 3169. х = и-|-г», y = ir-\-vl, z = ил -\-v\ Выразить z как явную функцию от х и у. 3170. х = и cos v, у = и sin г>, z = kv. Выразить z как явную функ цию от х и у. В задачах 3171— 3175 выразить dz через х, у, z, dx и dy от функций, заданных параметрически. о . -т. + V' и'~ — 3 1 7 1 . х = — у — , у = — Г)— , z = u v . 3172. х = \/~ a {sin и -\- cos v), у = V a (cos и — sin v), z = 1 -j— sin (it — v). 3173. x — и -j- v, у = u — v, z = trva. 3174. x = ti cos v, у = и sin v, z = ir. 3175. x = vcos п — и cos // -f- sin u> y = T>siiiH— ?/siiw/ — cos tt, z = (u — -u)'. 3176. x = eilcosv, у = cn sin v, z = u v . Выразить dz через it, v, dx и dy. 3177. Соотношения u = / (x ,y ), v = F ( x , y ) , где / и F — диффе ренцируемые функции х и у, определяют х и у как дифференциру емые функции от и и v. Доказать, что дх 0у ___ . 0 у dz дх ду ' дх ’ дг ' дх ’ ду !dudxj_ dudv\ /дх ду \0х ду ду дх) \ди Ov дх ду \ W ди) 198 ГЛ. X. Д ИФФЕРЕНЦ И АЛ ЬН О Е ИСЧИСЛЕНИЕ 3178. и и v являются функциями х, у, z, удовлетворяющими соотно шениям uv = Зх — 2у -(- z, vl = х~ -\-уа ~ -f- z1. Показать, что ди , ди , ди п * + У т- 4- z -т- = 0. их 1 •* ду 1 dz 3179. Пусть y = f ( x , I), F (х, у, t) = 0. Проверить, что d fd F _df_ OF d y __ dx dt dt dx dx df OF I dF * Ж dy 'dt 3180. Пусть f (x, y, z) = 0, F (x, y, z ) = 0. Проверить, что д /д Ғ_д Ғд /_ d y __ dx dz dx dz dx df dF dF df * dy dz dy dz § 5. Повторное дифференцирование 3181.) x = x z-\-xy*— 5xy 3 -\-уп. Показать, что . 3182. z = xy. Показать, что - ^ t- — ? f—. dx dy dy dx 3183. z = ex (cos у -I— x sin у). Показать, чтб - ^ г А = * ■. 1 J ' dx dy dy dx ■4(31842 2r = arctg — . Поі <азать, что . ^ ^ . - to x dy dx dx dy- В задачах 3185 — 3192 найти ч-?, -г— ~ и -^4 от данных функций. dx* ’ dx dy dy- 1J 3185. z ^ - Y lx ^ - y y - y - '. 3186. z = \n (x -j- V x- +/-). 3187. z = arctg . \ 3188. z =sin- (ax-\- by) . 3189. z = excy. i 3190. z = x + y 3191. z = y Ulx. J 3192. z = arcsin (xy). d-u dy dz 3193. a = Vx-.-\- y --(- Z* — 2xz; 1 3194. ^ = e&\ -4^-r- = ? Ox- ay 3195. z = In ( * * + / ) ; —~ r - = ? \i 3190. 2r = s i n ^ ; v 1 J ' dxdy- J dxOy 3197. ^ -J-? = ? 13198. v = x ,ny nz‘\ , f ? T -==? d*rdyc>z ' dxdy'dz3 3199. z = ln (d-z d-z / (9-2 \-__ ^ dx- dy -1 [dx dy К \)3200. и — ех (х cos у — у sin у). Показать, что — 0. 3201. w = in — 1 показать, что т^-4* ^4 = 0. Ух- + У д х*~ду* j 3202. и = ■ 1 показать, что + т ? - Ь 4 т = 0. J ]/л- 4- _у- _|_ 2 dv* ‘ с)у“ 1 dz3 3203. г = у х* -J- у 3 -(- z** показать, что d2r , dV , d r __ 2_ d (lnr) I (In r ) __ 1 dx- "i- dy" ‘ dz- r * dx- ‘ dy- ' dz2 r3 * 3204. При каком значении постоянной а функция v = x * аху* d-v , d"v удовлетворяет уравнению — - | - ^ = и? У d2z о d-z 3205. z = - .. г.—; показать, что -^ = а-‘ -г—;. у- — о-л'-’ dv- cty2 320G. -0 = -^--- 1 ----J-- 1 -?— ; показать, что х — у 1 у — Z ' Z — л &V I dsv ■ d\v , о ( d-v ■ dt; . dt> \ _ dv2 ^ dy- ^ dz2 ' \ dx dy ‘ dy dz ' dz dx ) 3207. z = f (x, y), 5 = x -J-y, r, = x — у. Проверить, что d~z d °z __ ^ d-z § 5. ПОВТОРНОЕ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВА Н И Е 199 dx 2 d y 2 d i drj * 3208. и = x ln {x -}- r) — г, где r = x~-\-yl. Показать, что d-v . d-v 1 dx- 1 dy- x -j- r ' ПП7ІИПЙ dx- 3209. Найти выражение для второй производной ^ от функции у. заданной неявно уравнением / (х, у) = 0 . 3210. у = у ( х — at) -j- ф (х -)- at). Показать, ч т о - ^ = а2^ 4 , каковы бы ни были дважды, дифференцируемые функции ср и Ф. 3211. и = (о (х) -f- ф (у) -)- (х — у) <]/ ОО- Проверить, что . . d-и du ^ dx dy dy (ср и ф — дважды дифференцируемые функции). 3212. z=y Проверить, что = р (ср — диф ференцируемая функция). 3213. г = ху ( х у ) yty ( х у ) . Показать, что d r __9 d~r | d r ___n dv* dx dy ' dy- ( 4 3214. н = у [? (ах -\~У) + Ф (ялг— з01- Показать, что д-и а- д I а ди 200 ГЛ. X. Д ИФ Ф ЕРЕНЦ И АЛ ЬН О Е ИСЧИСЛЕНИЕ дх- у- ’ ду ду)' 3215. н = -^-[ср (х — у) “ ЬФ (Л'Н _ ->')]• Показать, что д ( л ди \ __ л д-и дх \ дх ) ду-* 3216. и = хеу -}-уех. Показать, что д"'и , д \і__ ^ д'и ( дпи 1-1 — I Л.рЯ X Г У дх ' 1 ду :' ' дхоу- 1 дх" ду' 3217. и = ехуг. Показать, что д"и д-и , 0 ()и . Г. = х у -Г-Г-+2Х-Г- + 11. дх ду dz J дх ду 1 ' дх 3218. и = 1 п д- ~ -v-. Показать, что ху д 'и , дяи д- и д'и / 1 1 ^ дхя~Т~ дх-ду дх ду- ду3 \ у 3 х3) ’ В задачах 3219— 3224 иаіітп дифференциалы второго порядка от данных функций. 3219. z = xy~— х у . 3220. 2 = 1 и (х — у). 3221. z = л1-,...лг. 3222. z = xs\iry. 2 (х-+ ул) 3223. z = exy. 3224. и = xyz. 3225. г = sin (2 jc — {— у). Найти d'xz п точках (0, тс); 3226. н = sin (х у z)\ d' 1 u = ? 3227. -+ £ 4- К- = 1 ; d~z = ? и- 1 Ь~ 1 с- 3228. z:l — 3xyz = a:t; d'2z = ? 3229. 3 xy--\-‘2z~xy— 2 zx:i -\- 4zy' — 4 = 0. Найти d~z в точке ( 2 , 1 , 2 ). 3 а м е н а н е рс м с п и ы х 3230. Преобразовать дифференциальное выражение (І~У | 9 ..з < 1У I л 1 ГР~'~ 2х 7й~т~У> полагая x = \ J t . 3231. Преобразовать дифферепцпаль юе выражение х у " — 4 х/ -\-у, полагая х = е г, S232. Преобразовать дифференциальное выражение /1 dy , полагая x = sint. v” 3233. Преобразовать дифференциальное выражение у, считая у независимой переменной, х — функцией от нее. 3234. Преобразовать выражение / / " — 3/'*, принимая за независи мую переменную у. 3235. Преобразовать выражение у \/'— 2 (у3-j- У") к повой функции v, полагая у = — . J v 3236. Преобразовать к полярным координатам уравнение d y __ х -|- у dx Л' — у * Полярные координаты связаны с декартовыми формулами x = pcos'p, у — р sin ср. 3237. Выражение к = --- -— j- преобразовать к полярным коорди- (I + y 's)’f натам р, ср. 3238. Функция z зависит от х, у. В выражении у ^ — х ^ сделать замену независимых переменных с помощью формул x = ucosv; у = и sin и 3239. Оператор Лапласа преобразовать к полярным коор динатам. 0 z 3240. Выражение -\- kz преобразовать к полярным коор динатам, считая что 2г = ш(р) зависит только от р и не зависит от ср. 3241. В выражении ^ ~1~ 2 Ч~ независимые переменные х и у заменить переменными и и v, а функцию z — переменной w, по лагая, что эти переменные связаны соотношениями х = —ү —, У = ~~ 2 ~> $ 5. ПОВТОРНО!! Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВА Н И Е 201 Г Л А В А X! ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ П ЕРЕМ ЕН НЫ Х § 1. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких переменных Ф о р м у л а Т е й л о р а 3242. f (x , у) = хя 2 у л— ху; разложить функцию f(x-\-h, у -|- к) по степеням Һ и к. 3243. f(x , у) = X я -\~у- — 6ху — 39лг -|- 18у -j- 4; найти приращение, которое получает функция при переходе независимых переменных от значений х = о, у = 6 к значениям х = 5 Һ, у = 6 -\-к. 3244. f (x , yi) = ^ ---ух* -j- ---2„v-j-3у — 4; найти приращение, которое получает функция при переходе независимых переменных от значений х — \, у — 2 к значениям х — 1 -\-Һ, у = 2 -\-к. Ограничи ваясь членами до второго порядка включительно, вычислить / ( 1,02; 2,03). 3245. / ( х, у, z) = Ах* -j- Byr -f- Cz 1 -}- Dxy -|- Eyz -}- Fzx; разложить f ( x -j- h, y-\-k> z-\-l) по степеням /г, к и /. 3246. Разложить .г = sin ..v sin по степеням (х — и [)>-- ~\. Найти члены первого и второго порядка и Rо (остаточный член вто рого порядка). 3247. Функцию z = xy разложить по степеням ( х — 1), ( у — 1), найдя члены до третьего порядка включительно. Использовать результат для вычисления (без таблиц!) 1,11>02. 3248. f(x , у ) = ехъ\пу', разложить f(x-\-h, у к ) по степеням /г и /г, ограничиваясь членами третьего порядка относительно Һ и к. Использовать результат для вычисления c0<1 sin 0,49тс. 3249. Найти несколько первых членов разложения функции ех sin в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0). 3250. Найти несколько первых членов разложения функций ех In (1 -j-.y) в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0). В задачах 3251 — 3256 разложить в ряд Тейлора при л'о = 0, Уо = 0 данные функции. |