Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 2. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ 207 Р - ч l df \ /d\Ьу /л- = а \ду)х = ! >’ = Р 3’ = Ч Пользуясь этим, найти кратчайшее расстояние между эллипсом х* -f- 2ху 4~ 5у- — 1 = 0 и прямой х-]~у — 8 = 0. § 2. Плоские линии К а с а т е л ь н ы е и и о р ма л и В задачах 3324— 3327 написать уравнения касательной и нормали к линиям в указанных точках. 3324. Xяу 4- у лх = 3 — х-у- в точке (1, 1). 3325. а 1 (х4 4“ У ) — л * У = 9 а ° в точке (а, 2а). 3326. cos ху — х-\- 2 у и точке ( 1, 0). 3327. 2„г1 — х-у 4~ Зх" 4~ 4ху — ох — Зу 4-6 = 0 в точке ее пере сечения с осыо Оу. О с о б ы е т о ч к и В задачах 3328 — 3340 найти особые точки линий. 3328. / = х~ (х — 1). 3329. агх 1 = (х~ / ) у\ 3330. / = ах* 4- Ьх\ 3331. у- = х {х — af. 2 2 2 3332. х'3' 4- = а "3 • 3333. лл 4- / — 8 х* — 10/4-16 = 0. 3334. х 4 4- 12х‘л — 6 у 3 4- 36*- -j- 27у 1 — 8 1 = 0 . 3335. х 3 4- Ул + 3аху = 0. 3336. 4 *у* = Л'4 + у 4. 3337. у = х 1п лг. 3338. У“ = sin3 х. 3339. у* = { х — а)\ 3340. х* = (у — х-)\ 208 ГЛ. XI. ПРИМ ЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО ГО ИСЧИСЛЕНИЯ О г и б а ю щ и е « 3341. Найти уравнение огибающей семейства прямых y = cix-\~f(a). В частности, положить /(a) = cosa. 3342. Найти огибающую семейства прямых у = 2тх-\- /я4. 3343. Через точку А (а, 0) проведен пучок прямых. Найти огибаю щую семейства нормалей, проведенных к прямым этого пучка в точках их пересечения с осью Оу. 3344. Найти огибающую семейства парабол у°- = а ( х — а). 3346. Найти огибающую семейства парабол ах 2 -|- dry = 1. 334С. Найти огибающую семейства парабол у = аг (х — а)-’. 3347. Найти огибающую семейства полукубических парабол {у — a f = = (х — а):$. 3348. Найти огибающую семейства линий х* -f- ау~ = а\ 3349. Найти огибающую семейства эллипсов при усло вии, что сумма полуосей каждого эллипса равна cl. 3350. Радиусы окружности проектируются на два ее взаимно перпен дикулярных диаметра и на проекциях, как па полуосях, строятся эллипсы. Найти огибающую полученного семейства эллипсов. 3351. Найти огибающую семейства окружностей, имеющих центры на параболе у = Ьх 1 и проходящих через ее вершину. 3352. Прямая движется так, что сумма длин отрезков, отсекаемых ею на осях координат, остается постоянной и равной а. Найти огибаю щую полученного семейства прямых. 3353. Найти огибающую диаметра круга, катящегося без скольжения но данной прямой (радиус круга R). 3354. На хордах круга (радиуса R), параллельных заданному направ лению, как на диаметрах, описываются окружности. Найти огибающую этого семейства окружностей. 3355. Прямая движется так, что произведение отрезков, отсекаемых ею на осях координат, равно постоянной величине а. Найти огибающую этих прямых. 3356. Показать, что всякая линия является огибающей семейства своих касательных. 3357. Показать, что эволюта линии является огибающей семейства ее нормалей. Найти эволюту параболы у- = 2 р х как геометрическое место центров кривизны и как огибающую семейства нормалей. Срав нить результаты. 3358. Доказать теорему: если линия (А) есть огибающая семейства прямых х cos t у sin t — / (0 = 0, то эволюта линии (Л) является оги бающей семейства прямых — jc sin t-\-ycost — — 0. 3359. Радиус-вектор ОМ произвольной точки М равносторонней гиперболы ху — 1 проектируется на асимптоты гиперболы. Найти огибающую эллипсов, построенных на проекциях ОМ, как на полу осях. |