§ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И Д ИФ Ф ЕРЕНЦ И АЛ Ы ФУНКЦИП

3051.
3053.
3055.
3057.
3059.
3061.
3062. 
3003. 
3064.
3066.
3063. 
3070. 
3072.
3074.
3075.
3077.
3078.
3079.
3080. 
3082.
3084.
3085.
3086.
3087.
3088.
ГЛ. X. Д ИФ Ф ЕРЕНЦ И АЛ ЬН О Е ИСЧИСЛЕНИЕ
с 
у
. 
3052. г = In (х -|- In у).
L 
v 4 ~ W  
o n e л 
•
х
У
arctg— 1— . 
3054. 2 = sm — cos — .
ь v — w 
у
х
У
1'
г = [ і ) •
3°5 6 . 
г = (
1
+ху)У.
z = ху In (л: -f-у). 
3058. z = х ху.
и = xyz. 
3060. и = ху -}- yz -f- zx.
, , = V l F + 7 + 7 .
и = x 3 -\- y z 3 -j- 3 y x  — x - \ - z. 
w  = x y z - \ - y z v  -j- Z V X  -j- v x y .
и = ex (-'•■
-+j-+г-), 
3065. и = sin (x~ -j- yr -}- г2).
У
u =  ln (x-\-y -j- z). 
3067. u = x z.
u = x yZ. 
3069. f(x , y) = x -\-у  — )/ x* -j- У2 в точке (3, 4). 
z = In (x-{- 
в точке (1,2). 
3071. £■
= (2дт 
у)~х+у.
z = (\ -J-logv x)3. 
3073. z = xyes'nr-xy,
„ 1 _ }fx- +y*
Z =  (*-- f y-) — -^T= = .
1 + V X- + у  
_________
z = arctg У x y. 
3076. 2 = 21/ ,
,_________________
V  
1
+ f x y
z —  In [xy r^ - yx* -j- У  1 4 - (xy- -f- yx9)*].
I 
■
x 4-у 
4- arcsin —
* 
ru
(x + yY2
\ xy )
xy
у
arctg — — 1
г = arctg ^arctg ^  j — — •
---- ------- arctg
" — ( F + 7 " + W
3081* ^ = arctg (x — y f.
и = (sinх)уг. 
3083. и = \пХ
— У ~**+уі + г* ,
I + V x* + у -f- 2й
w = ~  tg9 (x2jr 4 - z-v2 — xyzv) 4- ln cos (x2_y2 4- z
2
v
2
— xyzv).
_ COS (v - 2ф) 
/ди\
cos (
W
/,,= **
и = У azA — bt'\ Найти ~  и 
при z = b, t = a.
x cos у  — V cos x 
dz 
dz
z = ~.-f-— —7— . Найти -v- и 3- при х = у = 0 .
1 -f- sm x -j- sin у
dx 
dy 
^ 
*
H = ]/sln9jc4-sin2<
y4 _sir,,i'2:* Найти і
^ ) Хяк0
•
Л Z! y Z 0
1C

3089. и = 1п (1 -J- х 
у
'1
 -\- г'л). Найти и'х -|- иу -j- uz при
( % + dL
* - y - z -  •
3090. f(x , у) = х'лу — у'х. Найти |
\ дх ду 
J 
у
3091. Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс 
__А'-’ + У-'
§ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ Ы ФУНКЦИЙ 
193
ординат касательная к линии
касательная к линии 
, в точке (2, 4, 5)?
у =  4
3092. Какой угол образует с положительным направлением оси
{ 
, в точке ( 1, 1, ]/ 3)?
\ х = 1
3093. Под каким углом пересекаются плоские линии, получающиеся 
в результате пересечения поверхностей z = x !,J\-~ и г = --тр — пло­
скостью у =  2?
Д и ф ф е р е н ц и а л ы. П р и б л и ж е н н ы е в ы ч и с л е н и я
В задачах 3094— 3097 найти частные дифференциалы данных функ­
ций по каждой из независимых переменных.
3094. г == ху* — З х у
1
2у\ 
^  3095. 
г- = У х
1
 
у\
3096. z = ——■
■■■«. 
3097. и = In (х3 + 2у3 — z*).
X- -{-у-
3098. z — У х -J- у 2. Найти dvz при х = 2, у —  5, Ду = 0,01.
3099. г = \ /Г\п ху. Найти dxz при х = 1, у = 1,2, Дх = 0,016.
3100. и = р — ~ -j" 
V
р-\~ Я ~Һ Г- Найти dpu при р = 1, q = 3, г = 5, 
Др = 0,01.
В задачах 3101— 3109 найти полные дифференциалы функций.
3101. z = х-у
1
— х'лу л + х*у*. 
3102. 
г = у In (х* -[- у 1) .
3103. г = Л 
у-. 
3104. 
г = arcsin—.
А- - у
у
3105. z = sin (ху). 
3106. г = arctg р 
.
3107. г =
. 
3108. z = arctg (ху). 
3109. « = х>’г.
Л*” — у- 
ь
П р и ме н е н и я к в ы ч и с л е п н я м
3110. Найти значение полного дифференциала функции z = х -J- У —
— }/ х* -|-у- при х  = 3, у  = 4, Дх = 0,1, Ду = 0,2.
3111. Найти значение полного дифференциала функции z = exy при 
х = 1, у =  1, Дх=0,15, Ду = 0,1.
7 
Г. Н. Берман

194
ГЛ. X. Д ИФ Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН О Е ИСЧИСЛЕНИЕ
3112. Найти значение полного дифференциала функции z
XV
прп х = 2 , у =  1, Дх=0,01, Ду = 0,03.
3113. Вычислить приближенно изменение (функции z-
. х + Зу
прп
у  — 3.v
изменении х  от ху = 2 до Хо = 2,5 и у  от yi = 4 до у* =  3,5.
3114. Вычислить приближенно 1п (]/"1,03 -j-y^0,98— l).
3115. Подсчитать приближенно 1,042,0\
3116. Найти длину отрезка прямой х = 2, у =  3, заключенного 
между поверхностью z = x i -\-у
2
н ее касательной плоскостью в точке 
( 1, 1, 2).
3117. Тело взвесили в воздухе (4,1 dr 0,1 Г ) и в воде (1,8 ±  0,2 Г). 
Найти удельный вес тела и указать погрешность подсчета.
3118. Радиус основания конуса равен 10,2 ±0,1 см, образующая 
равна 44,6 i t 0,1 см. Найти объем конуса и указать погрешность под­
счета.
3119. Для вычисления площади 5 треугольника по стороне а и 
углам В, С пользуются формулой
__ 1 о sin В sin С
^ ~ ~
2
а sin (В + С) *
Найти относительную погрешность о5 при вычислении S’, если относи­
тельные погрешности данных элементов равны соответственно оа, ол, 8С.
3120. Сторона треугольника имеет длину 2,4 м и возрастает со ско­
ростью 10 см/сек; вторая сторона длиной 1,5 м уменьшается со ско­
ростью 5 см)сек. Угол, заключенный между 
этими сторонами, равный 60°, возрастает со 
скоростью 2° в секунду. Как и с какой скоро­
стью изменяется площадь треугольника?
3121. В усеченном конусе радиусы ос­
нований равны R =  30 см, г = 20 см, вы­
сота Һ = 40 см. Как изменится объем конуса, 
если увеличить R па 3 мм, г на 4 мм, /г 
на 2 мм?
3122. 
Показать, что при вычислении периода Т колебания маятника по 
формуле
Рис. 59.
I — длина маятника, g — ускорение силы тяжести) относительная погреш­
ность равна полусумме относительных погрешностей, допущенных при 
определении величин I \\ g (все погрешности предполагаются достаточно 
малыми).
3123. 
Выразить погрешность при вычислении радиуса г дуги А В  
(рис. 59) окружности по хорде 2s и стрелке р через погрешности ds 
и dp. Вычислить dr при 2s = 19,45 см dz 0,5 мм, р=Ъ,0>2 cMzh 0,3 мм.

5 I. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВА Н И Е ФУНКЦИИ
195
§ 4. Дифференцирование функции 
С л о ж н а я ф у и к ц и я *)
3124) и = ех'~-у, где x = sint, y = t'\ ^ ?
3125. и = z3 -j-у- -}- zy, z =  sin t, у = el\ ~ —  ?
3126. z =  arcsin (x — у), x = St, у =  
= ?
(3127. г = x y  — y*x, где x = и cos v, y = u sin v; 
= ?
3128. z = x* ln у, x = ~ , у = Su — 2v; 
=
= ^
3129. w = lti(если 
=
3130. г = arctg (xy)\ наіітн 
если y = ex.
3131. и = arcsin у , где z = ]/rx i -\- I; 
=  ?
3132. z = tg(3< + 2.v--j-). * = i ,
^ = ?
3133. » = с д5^_~z), y = asinx, z = cos.t; 
= ?
3, 34. g = Ay»rclg (.4, + x + a
?
x + y
^.135) 2= ( ^ + й
^
: § = ? | = ? 3130. Z = f { x ‘- - y \ e^tt J J = ? § = ?
3137. Показать, что функция г = arctg ~ , где лг = н -|- и, у = г/ — т>,
(?2
, с)г 
н — и
удовлетворяет соотношению -- к -г- = —j—;
?.
J
 
* 
Ои 
1 o v
V J
- f-
UJ
3138. Показать, что функция z =  
ср 
(х* -[- у 2), где 
ср 
(гг)— диффгрен-
. 
dz 
dz 
п
цпруемая функция, удовлетворяет 
соотношению у ^  
— х-^ =
0
.
3139. гг = sin х-{- F (sin у  — sin.v); убедиться, что —■
cos х  
cos у  =
= cos х cos у, какова бы ни была дифференцируемая функция F.
3140. 2 = у.-—--
— 5г : убедиться, что 
— ~ =  
какова бы
f(x- — у )
J 
х dx 1 у dy 
y J »
ни была дифференцируемая функция /.
*) Начиная с этого раздела и до конца X главы нумерация задач в насто­
ящем издании отличается от нумерации 9-го и более ранних изданий.
7*

3141. Показать, что однородная дифференцируемая функция 
нуле­
вого порядка z =
(см. задачу 2961) удовлетворяет соотношению
dz . 
dz 
л 
х
-А-у -ү- = 0.
dv 1
^ dy
3142. Показать, что однородная функция k-го порядка и = х иҒ (—■;
где 
F  — дифференцируемая 
функция, 
удовлетворяет 
соотношению 
ди | 
да , 
du 
,
х dx "I У dy 
z dz ~
'
3143. Проверить предложение задачи 3142 для функции 
и 
=
. 2" -j- У'
— х sin — L^ L-.
Л "
3144. Дана дифференцируемая функция /(х, у). Доказать, что если 
переменные х, у  заменить линейными однородными функциями от Л', 
У, то полученная функция F (X, У) связана с данной функцией соот­
ношением
x dJ_jr y d l ^ x dF_A_ 
dj^ 
dx 1 3 dy 
dX 1
1
d Y '
196 
ГЛ. X. Д ИФ Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН О Е ИСЧИСЛЕНИЕ
II e я в п о и п а р а м е т р и ч е с к и зада и и ы е ф у н к ц и и
В задачах 3145— 3155 найти производную ~  от функций, заданных 
неявно.
k'3145. X sу — у*х = а\ 
3146. -vV2— x i — у х = а\
v3147. 'х + уех — ехУ = 0. 
3148. (.?  -j- / )* — а- (х- — у 2) =  0.
2
2
2
3149. sin(joO — е'у — х у =  0. 3150. лг3-|- y :i= a :i.
3151. х у — In у = а. 
3152. arctg 
— -^- = 0.
3153. у х
9
 = еУ. 
3154. уех -)- е* = 0. 3155. у х = х>.
3156. F ( x , y ) = F ( y , х). Показать, что производная от у  по х 
может быть выражен а с помощью дроби, числитель которой получается 
из знаменателя перестановкой букв у  и х.
3157. х
2
-\-у~— 4 х — КЗу-|-4 = 0; найти 
при лг = 6, у = 2  и
при „v = 6, .у = 8. Дать геометрическое истолкование полученным 
результатам.
3158. х*у-\-ху
1
— ах-у- =  а"; найти (-~ при х = у = а.
3159. Доказать, что из х*у* -|- х- -\-у°-— 1 = 0 следует:
dx 4 -
^
= 0.
у 
1 - х * ' У
1 - у 1
3160. Доказать, что из а -j- Ь (х -|-у) -|- сху = т (х — у) следует:
dx 
__
dy
a -J- 2bx -f- сх- 
а 
2Ьу + су * *