Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f


§ !. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА



Pdf көрінісі
бет112/146
Дата06.02.2022
өлшемі9,73 Mb.
#80743
түріСборник задач
1   ...   108   109   110   111   112   113   114   115   ...   146
Байланысты:
Berman Sbornik


§ !. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
255
а) Доказать, 
что 
У = У \ -\-С(у
.2—
У\)
является общим решением 
того же уравнения ( С — константа).
б) При каком соотношении между постоянными а и (3 линейная 
комбинация а
уу-\-%уъ
будет решением данного уравнения?
в) Доказать, что если 
у
3
третье частное решение, отличное от 
У\
и Vo, то отношение 
~
— постоянное.
Уз -- 
У1
Л*
8970. 
Д оказать 
тождество 
(см. 
задачу 
2345): 
\j ezx~z2dz =
о
Л
-V
4dz,
составив для функции 
1
(х )= \ezx~z~dz
дпфферен-
о 
о
циальное уравнение и решив его.
3971. Найти линию, у которой начальная ордината любой касатель­
ной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.
3972*. Найти линию, у которой площадь прямоугольника, построен­
ного на абсциссе любой точки и начальной ординате касательной в этой 
точке, есть величина постоянная ( = а 2).
3973*. Найти линию, для которой площадь треугольника, образо­
ванного осыо абсцисс, касательной и радиус-вектором точки касания, 
постоянна (
= а
').
3974. Точка массой, равной 
т
, движется прямолинейно; на нее 
действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорцио­
нальности равен 
ki),
протекшему от момента, когда скорость равнялась 
нулю. Кроме того, на точку действует сила сопротивления среды, про­
порциональная скорости (коэффициент пропорциональности равен 
к). 
Найти зависимость скорости от времени.
3975. Точка массой, равной 
т ,
движется прямолинейно; па нее дей­
ствует сила, пропорциональная кубу времени, протекшего с момента, 
когда скорость была 
(коэффициент пропорциональности ранен 
к). 
Кроме того, точка испытывает противодействие среды, пропорциональное 
произведению скорости и времени (коэффициент пропорциональности 
равен /v’i). Найти зависимость скорости от времени.
3976. Начальная температура тела 0„°С равна температуре окруж аю ­
щей среды. Тело получает тепло от нагревательного прибора (скорость 
подачи тепла является заданной функцией времени: 
co(t),
где 
с
— по­
стоянная теплоемкость тела). Кроме того, тело отдает тепло окруж аю ­
щей среде (скорость охлаждения 
пропорциональна разности 
между 
температурами тела и среды). Найти зависимость температуры т е л а от 
времени, отсчитываемого от начала опыта.
Решить задачи 3977— 3978, учитывая, что если переменный электри ­
ческий ток 
1 — 1
 (t)
течет по проводнику с коэффициентом индуктивности 
L
и сопротивлением 
R
, то падение напряжения вдоль проводника будет
равно 
L
-|- 
RL


256
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л ЬН Ы Е УРА ВН ЕН И Я
3977. Разность потенциалов на зажимах катушки равномерно падает 
от 
£0
= 2 
в
до Е і = 1
в
в течение 10 
сек.
Каков будет ток в конце
2
десятом секунды, если в начале опыта он был 1 6 -^ -а ? Сопротивление
катуш ки 
0,12
ом,
коэффициент индуктивности 
0,1
генри.
3978. Найти ток в катушке в момент 
t,
если сопротивление ее 
R, 
коэффициент индуктивности 
L,
начальный ток 
/0
= 0, электродвижущ ая 
сила меняется по закону £ , = £ ,0sin 
Ы.
Р а з н ы е з а д а ч и 
( У р а в н е н и я с 
р а з д е л я ю щ и м и с я п е р е м е н н ы м и, 
о д н о р о д н ы е и л и н е й н ы е)
В задачах 
3979

3997 
найти общие решения уравнений.
3979. у = -yi!+ g > + 3'- ^ 
3 9 8 а
x'~dy
-f- (3 — 2
ху) dx —
0 .
3981. x ( x e -f- 
^)У -\~У = х(1
- f -
х 1)\
3982. у = £ ± J . 
3983. У — -
1
+
у-


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   108   109   110   111   112   113   114   115   ...   146




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет