§ 1. Производная. Скорость изменения функции

46
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И Д ИФ Ф ЕРЕНЦ И АЛ
стержня, 2) линейную плотность: а) в точке, отстоящей от точки А на 
расстоянии / = 5 см, б) в самой точке А, в) в конце стержня.
434. Количество тепла Q (в калориях), необходимого для нагревания
1 г воды от 0 до t°C , определяется формулой
Вычислить теплоемкость воды для t = 30°, t = 100°.
435*. Угловую скорость равномерного вращения определяют как 
отношение угла поворота к соответствующему промежутку времени. 
Дать определение угловой скорости неравномерного вращения.
436. Если бы процесс радиоактивного распада протекал равномерно, 
то под скоростью распада следовало бы понимать количество вещества, 
разложившегося в единицу времени. На самом деле процесс протекает 
неравномерно. Дать определение скорости радиоактивного распада.
437. Сила постоянного тока определяется как количество электри­
чества, протекающее через поперечное сечение проводника в единицу 
времени. Дать определение силы переменного тока.
438. Термическим коэффициентом линейного расширения стержня 
называют приращение единицы его длины при повышении температуры 
на 1° С, если предположить равномерность теплового расширения. На 
самом же деле процесс протекает неравномерно. Пусть /= /(£ ), где 
I — длина стержня, t — температура. Дать определение коэффициента 
линейного расширения.
439. Коэффициентом растяжения пружины называют приращение еди­
ницы длины пружины под действием единичной силы, действующей на 
каждый квадратный сантиметр сечения пружины. При этом предпола­
гается пропорциональность растяжения действующему усилию (закон 
Гука). Дать определение коэффициента растяжения k в случае уклоне­
ния от закона Гука. (Пусть L— длина пружины, 5 — площадь попереч­
ного сечения, Р  — растягивающая сила и t = y(P).)
440. Найти приращение функции у = х г в точке лгі = 2, полагая 
приращение Ал: независимой переменной равным: 1) 2; 2) 1; 3) 0,5; 4) 0,1.
441. Найти отношение ^ для функций:
1) у = 2х3 — лг2 -{-1 
при х = 1 ;  
А-аг = 0,1;
Показать, что при Длг -> 0 предел этого отношения в первом случае
Q = t + 0,00002^ -j- 0,0000003*®.
П р о и з в о д н а я ф у н к ц и я
2
) У = І  
3) у = ]/~х
при х — 2; 
Ах = 0,01;
при х = 4; 
Ал: = 0,4.
равен 4, во втором —
, в третьем — - j.

442. Дана функция у = х3. Найти приближенные значения производ­
ной в точке х  = 3, полагая последовательно Ах равным: а) 0,5; б) 0,1;
в) 0,01; г) 0,001.
443. f (x ) = x'2; найти /'(5); / ' ( — 2); / ' ( — у ) *
444. f (x ) = x*\ найти /'(1); /'(0); / ' ( — У~2)\ / '(- j) .
445. f ( x ) = x <
l. В какой точке f ( x ) = f ’ (xг)?
446. Проверить, что для функции /(дг) = дг2 справедливо соотноше­
ние /' (a -j- b)= / '( а ) -j- / ' ip). Будет ли это тождество справедливым 
для функции f ( x ) = x s?
447. Найти производную от функции _y = sinx при # = 0.
448. Найти производную от функции у = \g х  при д г = 1.
449. Найти производную от функции ^/=10v при дг = 0.
f (?)
450. Известно, что / (0) = 0 и существует предел выражения
при х —*■ 0. Доказать, что этот предел равен /' (0).
451. Доказать теорему: если f ( x )  и ср(дг) при лг = 0 равны нулю 
[/ (0) = 0, ср (0) = 0J и имеют производные при * = 0, причем <р' (0) ф  0, то
452. Доказать, что если f { x ) имеет производную при х = а, то
lim 
х/(а)х : ° П х ) = т - а Г ( а ) .

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: