Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f


§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛО В. СРА ВН ЕН И Е БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ



Pdf көрінісі
бет30/146
Дата06.02.2022
өлшемі9,73 Mb.
#80743
түріСборник задач
1   ...   26   27   28   29   30   31   32   33   ...   146
Байланысты:
Berman Sbornik


§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛО В. СРА ВН ЕН И Е БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 
43
419. Отрезок А В  длины а разделен п точками на равные части, и
из этих точек проведены лучи под углами ~ (рис. 17). Найти предел
длины получившейся ломаной линии при неограниченном возрастании п. 
Сравнить с результатом предыдущей задачи.
420. Отрезок А В  длины а разделен на п равных частей. На каждом 
частичном отрезке построена дуга окружности, равная ъ/п радиан
А
Рис. 17.
Рис. 18.
(рис. 18). Найти предел длины получившейся линии при л-*- со. Как 
изменится результат, если на каждом частичном отрезке будет строиться 
полуокружность?
421. 
Окружность радиуса R разделена п точками М и Л12 ..., Мя 
на равные части. Из каждой такой точки проведена дуга окружности
Рис. 19. 
Рис. 20.
радиуса г до пересечения с дугами, построенными в соседних точках 
(рис. 19). Найти предел длины получившейся замкнутой линии при не­
ограниченном возрастании п.
422. Два круга с радиусами R и г (R^> г) касаются в начале коор­
динат оси О Y и расположены правее нее (рис. 20). Какого порядка 
относительно х при jt -► 0 будут бесконечно малый отрезок М М  и бес­
конечно малый угол а?
423. Центр окружности соединен отрезком прямой ОР с точкой Р, 
лежащей вне окружности. Из точки Р  проведена касательная Р'Г к


44
ГЛ. If. ПРЕДЕЛ. НЕП РЕРЫ ВН О СТЬ
окружности и из точки опущен перпендикуляр T N  на прямую ОР. 
Доказать, что отрезки АР и AN, где А — точка пересечения прямой 
ОР с окружностью, — эквивалентные бесконечно малые при Р  —► А.
424. В конечных и в средней точках дуги А В окружности прове­
дены касательные и точки А и В  соединены хордой. Доказать, что отно­
шение площадей образовавшихся при этом двух треугольников стре­
мится к 4 при неограниченном уменьшении дуги АВ.
В ы ч и с л и т е л ь н ы е з а д а ч и
425. Исходя из эквивалентности при лг->0 функций У  1 — jc — 1
и ү х, вычислить приближенно: 
1) j/~105; 2) ]/ 912; 3) j/^GO;
4) |/Тб32; 5) У  0,31; 6) ]Л ),021.
П
 ---------
426. Показать, что при *-> 0 функции у \ -{-х — 1 и х/п — экви­
валентные бесконечно малые. Воспользоваться этим для приближенного 
вычисления корней: 1) '\f1047; 2) |/8144; 3) |/~ 1,1; 4) У  1080. Найти 
значение этих же корней с помощью логарифмических таблиц. Сравнить 
результаты.
427. Использовать эквивалентность 1 п (1 —
{—
jc) и дг при лг->0 для 
приближенного вычисления натуральных логарифмов следующих чисел: 
1,01; 1,02; 1,1; 1,2. Найти десятичные логарифмы этих же чисел и сравнить 
с табличными данными.


Г Л А В А III
ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   26   27   28   29   30   31   32   33   ...   146




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет