5 2. БЕС КО Н ЕЧН Ы Е ВЕЛ И ЧИ Н Ы . ПРИЗНАКИ СУЩ ЕСТВОВАНИЯ ПРЕД ЕЛА
3 !
201. Функция
у —
2
хі_\ бесконечно велика при
х —ъО. Каким нера
венствам должен удовлетворять
х, чтобы
\у\ было больше 100?
202. При
х —
у
оо имеем:
у = lg х —>
■
оо. Каково должно быть
ЛІ,
чтобы из
х ^ > М следовало
у >
N = 100?
203. Какие из основных элементарных функций являются ограничен
ными во всей области их определения?
204. Доказать, что функция
у = ^
ограничена на всей число
вой оси.
205. Будет ли функция
у = у ^ -5- ограничена на всей числовой оси?
Будет ли она ограничена в интервале (0, со)?
206. Является ли функция
у = lg sin
х ограниченной во
всей области
ее существования?
Тот же вопрос относительно функции y = lgcos.*r.
207. 1) Доказать, что функции
у — х sin
х и
у — x c o s x не ограни
чены при х —усо (указать для каждой из них хотя бы по одной такой
последовательности
х т для которой
у п—у со).
2)
Будут ли указанные функции бесконечно большими?
В) Построить графики этих функций.
208. Построить графики функций
f ( x ) — 2x*'mx и
f ( x ) — 2—«sin*.
Для каждой нз этих функций указать такие две последовательности
х п и
х'п значений х, что lim
f ( x n) = со, a lim
f(x ^ ) = 0.
/I —►
оо
tl —►
СО
209. При каких значениях
а функция
у =
ах sin
х будет не ограничена
при
х —► + со
(х —>
— оо)?
210. Будет ли бесконечно большой неограниченная функция:
1)
f ( x ) = — c o s y при
х
—
у
0;
2) /(.V) =
х arctg
х при х
со;
3)
f ( x ) — 2х arcsin (sin
х ) при
х
—
у
-f- оо;
4)
f (x) = (2 + sin
х) lg лг при
X —.у + со;
5)
f ( x ) — (1 4- sin
х ) lg
х при
х —у -j- со?
211. Функция
ип принимает значения
г»
3
4
tl
-J-1
их = 2, и2 = -4-, к3 = Q-, ...,
ип =
. . .
Доказать, что «„ — бесконечно
малая величина при п —у со.
212. Функция
ип принимает значения
п
.. _
1
_ 1
_ 1
..
п2 — 8
Mi
I j U<
&
2 ’ Н3
97 >
M.j
g , . . . ,
Uп
, . . .
Доказать, что
ип — бесконечно малая величина при
п —у оо.
32
ГЛ. II. П РЕДЕЛ. Н ЕП РЕРЫ ВН О СТЬ
213. Доказать, что у =
—>
■
0 при лг-^0. Каким условиям дол
жен удовлетворять
х, чтобы имело место неравенство |j;|« < 10-4?
214. Показать,
что при х -*-оо функция
у = У х-\-\— У х стре
мится к нулю. Каким должно быть
N, чтобы при
х ;>
N было
у < е?
215. Доказать, что если предел функции
f { x ) при
х-^-оо равен
а,
то
f ( x ) можно представить в виде суммы
f (x) — a -j- ср
(х ), где ф(-аг)
бесконечно мала при
х-^-оо.
Представить в виде такой суммы следующие функции:
1\
Х''
Оч
Х~
ОЧ
I — х2
1) j ' = ^ r r ;
2) J '= - S q г г : 3)- ^ = т + Ғ -
П р и з н а к и с у щ е с т в о в а н и я п р е д е л а
216*. Функция
ип принимает значения
1
1 ,
1
1
,
1
,
,
1
Н 1
л >
11Ъ
<1 “ Г 1 л > * • *»
4 '
“ 2
4
I ю» •••»
3+1 1 32+1 ‘ ••• 1 3«-и ’
Доказать, что
ип стремится к некоторому пределу при «->■ оо.
217. Функция
ип принимает значения
1
•
1
I
1
1 I
1
I
1
«1
— 2 >
lh
2 ‘ у - 4 ’
“ 3
“ 2
2 • 4
2 • 4 • 6 * ’ * *
1 .
1
.
.
1
...» «в
2 1
2-4 1
1 2• 4... (2/г) » * ’ *
Доказать, что
ип стремится к некоторому пределу при
п
оо.
218. Доказать теорему:
Если разность между двумя функциями при одном и том же изме
нении независимой переменной бесконечно мала, причем одна из функций
возрастает, другая убывает, то обе стремятся к одному и тому же пределу.
219. Даны два числа:
и0 и г>
0 (u0
ип и
vn задаются формулами
вообще
«о + Уо
0 + 2уо . „
г*і-|-2ух-
_
2
’
1 ”
3
’
2 ~
2
’
2 —
3
’
.. __
ип-\ +
v n-i
__
un-l~\~~v n-i
1
V п --
О “ •
2
Доказать на основе теоремы, приведенной в предыдущей задаче,
что обе последовательности
ип
1>
Достарыңызбен бөлісу: