Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f


§ 2. Бесконечные величины. Признаки существования предела



Pdf көрінісі
бет26/146
Дата06.02.2022
өлшемі9,73 Mb.
#80743
түріСборник задач
1   ...   22   23   24   25   26   27   28   29   ...   146
Байланысты:
Berman Sbornik

<0>
§ 2. Бесконечные величины. Признаки существования предела
Б е с к о н е ч н ы е в е л и ч ин ы
19G. Функция ип принимает значения
??! = 3, 
щ = 5, 
и3 = 7, ..., ип = 2я -}- 1, ...
Доказать, что ип — бесконечно большая величина при п —> со. Начиная 
с какого п, величина ип становится больше ?
197. Доказать, что общий член пп любой арифметической прогрессии 
есть величина бесконечно большая при п-> со. (Когда она будет поло- 
жительной и когда отрицательной?) Справедливо ли это утверждение
для произвольной геометрической прогрессии?
1 -4- 
°х
198. При л*—> 0 имеем: у = ~ ~-- >со. Каким условиям должен
удовлетворять х, чтобы имело место неравенство |_у|^>104?

t
199. Доказать, что функция у = — —- бесконечно велика при х — >3.
X — о
Каким должен быть х, чтобы величина  | была больше 1000?
200. Когда х  стремится к 1, функция у =  
^ неограниченно 
возрастает. Каково должно быть 8, чтобы из | х —
следовало
30 
ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ'


5 2. БЕС КО Н ЕЧН Ы Е ВЕЛ И ЧИ Н Ы . ПРИЗНАКИ СУЩ ЕСТВОВАНИЯ ПРЕД ЕЛА 
3 !
201. Функция у — 
2
хі_\ бесконечно велика при х —ъО. Каким нера­
венствам должен удовлетворять х, чтобы \у\ было больше 100?
202. При х —
у
 
оо имеем: у =  lg х —>

оо. Каково должно быть ЛІ, 
чтобы из х ^ > М  следовало у  >  = 100?
203. Какие из основных элементарных функций являются ограничен­
ными во всей области их определения?
204. Доказать, что функция у  = ^
ограничена на всей число­
вой оси.
205. Будет ли функция у  = у ^ -5- ограничена на всей числовой оси?
Будет ли она ограничена в интервале (0, со)?
206. Является ли функция у  = lg sin х  ограниченной во всей области 
ее существования?
Тот же вопрос относительно функции y = lgcos.*r.
207. 1) Доказать, что функции у — х  sin х  и у — x c o s x  не ограни­
чены при х —усо (указать для каждой из них хотя бы по одной такой 
последовательности х т  для которой у п—у со).
2) 
Будут ли указанные функции бесконечно большими?
В) Построить графики этих функций.
208. Построить графики функций f ( x ) — 2x*'mx и f ( x ) — 2—«sin*. 
Для каждой нз этих функций указать такие две последовательности
х п и х'п значений х, что lim f ( x n) =  со, a lim f(x ^ ) = 0.
/I —►
оо 
tl —►
СО
209. При каких значениях а функция у  = ах sin х  будет не ограничена 
при х  —► + со  —>
— оо)?
210. Будет ли бесконечно большой неограниченная функция:
1) f ( x ) = — c o s y при 
х

у
0;
2) /(.V) = х  arctg х  при х
со;
3) f ( x ) — 2х arcsin (sin х ) при х

у
-f- оо;
4) f (x) = (2 + sin х) lg лг при —.у + со;
5) f ( x ) — (1 4- sin х ) lg х  при х —у -j- со?
211. Функция ип принимает значения
г» 


tl
 -J-1
их = 2, и2 = -4-, к3 = Q-, ..., ип = 
. . .
Доказать, что «„ — бесконечно малая величина при п —у со.
212. Функция ип принимает значения
п 
.. _

_ 1 
_ 1 
.. 
п2 — 8
Mi 
I j U<
&
2 ’ Н3 
97 >
M.j 
g , . . . , Uп 
, . . .
Доказать, что ип — бесконечно малая величина при п —у оо.


32
ГЛ. II. П РЕДЕЛ. Н ЕП РЕРЫ ВН О СТЬ
213. Доказать, что у =
—>

0 при лг-^0. Каким условиям дол­
жен удовлетворять х, чтобы имело место неравенство |j;|« < 10-4?
214. Показать, что при х -*-оо функция у = У х-\-\— У х  стре­
мится к нулю. Каким должно быть N, чтобы при х  ;>  было у  < е?
215. Доказать, что если предел функции f { x )  при х-^-оо равен а, 
то f ( x )  можно представить в виде суммы f (x) — a -j- ср (х ), где ф(-аг) 
бесконечно мала при х-^-оо.
Представить в виде такой суммы следующие функции:
1\ 
Х'' 
Оч 
Х~ 
ОЧ 
I — х2
1) j ' = ^ r r ; 
2) J '= - S q г г : 3)- ^ = т + Ғ -
П р и з н а к и с у щ е с т в о в а н и я п р е д е л а
216*. Функция ип принимает значения

1 , 






1
Н 1 
л > 
11Ъ 
<1 “ Г 1 л > * • *»
4 '
“ 2
4
I ю» •••» 
3+1 1 32+1 ‘ ••• 1 3«-и ’
Доказать, что ип стремится к некоторому пределу при «->■ оо.
217. Функция ип принимает значения

• 
1


1 I 


1
«1
— 2 >
lh 
2 ‘ у - 4 ’ 
“ 3
“ 2 
2 • 4 
2 • 4 • 6 * ’ * *
1 .
1


1
...» «в 
2 1
2-4 1 
1 2• 4... (2/г) » * ’ *
Доказать, что ип стремится к некоторому пределу при п 
оо.
218. Доказать теорему:
Если разность между двумя функциями при одном и том же изме­
нении независимой переменной бесконечно мала, причем одна из функций 
возрастает, другая убывает, то обе стремятся к одному и тому же пределу.
219. Даны два числа: и0 и г>
0 (u0ип и vn задаются формулами
вообще
«о + Уо 
г*і-|-2ух- 
_

’ 
1 ”

’ 
2 ~

’ 
2 — 


.. __ ип-\ + v n-i 
__ un-l~\~~v n-i

V п -- 
О “ •
2
Доказать на основе теоремы, приведенной в предыдущей задаче, 
что обе последовательности ип


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   22   23   24   25   26   27   28   29   ...   146




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет