§ 2. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВА Н И Е ФУНКЦИЙ
01
62
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ
858.
Через начало координат проведена прямая, параллельная каса
тельной к кривой в произвольной ее точке М. Найти геометрическое место
точек Р пересечения этой прямой с прямой, параллельной оси ординат
и проходящей через точку М.
Найти такие геометрические места для а) параболы у* = 2рх, б) ло-
гарифмики
y = \ogbx, в) окружности х* -|- у* = аг, г) трактрисы
a -f- У а* — х*
У = У а * ~ х~
a In
В задачах 859 — 864 найти углы, под
которыми пересекаются данные линии.
859. 1)
У =
“
y = X‘' + t f + S .
' '
х-\-2
16
2) у = ( х — 2)3 и у = 4 х — х*-\-4.
860. 1) л'3 —
|— у~ = 8 и у “ = 2 х .
2) х* -\-уг — 4 х = 1 и
# *4 - У + 2у = 9.
861. х* — у°- = 5 и £ + £ = 1.
862.
х~
-\-
у* = Sax и у а
~-
ЙЛП
863.
х*
=
4ау и у .
2 а — х *
Л‘3 -J-
*
864. у = sin х и у = cos х ( О ^ х ^ тс).
865. Составить уравнение касательной и нормали к линии
$■+(*)->
в точке с абсциссой, равной а.
866. Доказать, что сумма отрезков на осях координат, образуемых
L
_L
_L
касателыюй к кривой х 2 -f-У2 = а 2, для всех ее точек равна а.
—
JL
JL
867. Показать, что отрезок касательной к астроиде х 3 -|-у 3 = а 3 »
заключенный между осями координат, имеет постоянную длину, равную а.
868
. Доказать, что отрезок касательной к трактрисе
а ш
а 4- Т' d"
х-
-»/ а
о
У = -
7
Г Ш ~-’~ ^ = = — V а* — х \
2
а — У а3 — ха
заключенный между осыо ординат и точкой касания, имеет постоянную
длину.
869. Показать, что для любой точки М (лг0>
З'о) равнобочной гипер
болы х
аг отрезок нормали от точки М до точки пересечения
с осью абсцисс равен полярному радиусу точки М.
870. Показать, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной
|