Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f



Pdf көрінісі
бет36/146
Дата06.02.2022
өлшемі9,73 Mb.
#80743
түріСборник задач
1   ...   32   33   34   35   36   37   38   39   ...   146
Байланысты:
Berman Sbornik

830 
— 
833 
составить уравнения касательной и нормали 
к данным линиям.
830. у =  
sin 
х в точке М  (х0, >’о)-
831. у  = 1п х в точке М (х0, у а).
^ 832. у = -~-:—
в точке с абсциссой х = 2я.
4а-
-|- 
х-
'• 833. У 2 — ---!—— (циссоида) в точке М (х0, _у0)-'
834. Показать, что подкасательная к параболе /z-го порядка у = х п 
равна части абсциссы точки касания.
Дать способ построения касательной к линии у = х п.
835. Найти подкасательные и поднормали к линии у = х л; У = х3; 
ху<2=  1. Дать способы построения касательных к этим линиям.
836. Составить уравнения касательной и нормали к параболе х 2 = 4ау 
в ее точке (х0, Уо)', показать, что касательная в точке с абсциссой
х 0 = 2am имеет уравнение х = ~ -}- am.
837. Хорда параболы у = х ° “ — 2х-|- 5 соединяет точки с абсциссами 
Х! = 1, х° = 3. Составить уравнение касательной к параболе, парал­
лельной хорде.
ОГ»П Z'-’ 
А'“ — ЗЛГ —
j—
б
838. Составить уравнение нормали к линии у = -^ —!—■
в точке
с абсциссой х = 3.
839. Составить уравнение нормали к линии у =  — ]/”х-\~2 в точке 
ее пересечения с биссектрисой первого координатного угла.
840. Составить уравнение нормали к параболе у = х ~  — 6х-(-б, 
перпендикулярной к прямой, соединяющей начало координат с вершиной 
параболы.
841. Показать, что нормали к линии у = хп
- — х -f-l, проведенные 
в точках с абсциссами x i= 0 , х 2 = — 1 и х 3 = 5/2, пересекаются в 
одной точке.
842. В точках пересечения прямой х —
0 и параболы 
у = х~ — 4х-]-5 проведены нормали к параболе.
Найти площадь треугольника, образованного нормалями и хордой, 
стягивающей указанные точки пересечения.
60 
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И Д ИФ Ф ЕРЕНЦ И АЛ


843. Показать, что касательные, проведенные к гиперболе у = ^^-~
в точках ее пересечения с осями координат, параллельны между собой.
х 4- 9
844. Провести касательную к гиперболе у  =
так, чтобы она 
прошла через начало координат.
845. На линии у = -г-4—г найти точку, в которой касательная парал-
I -f- х
лельна оси абсцисс.
846. Найти уравнение касательной к линии
х 1 (х -\-у) = а‘ (х — у)
в начале координат.

зл-я
847. Доказать, что касательные к линии у  =

проведенные
в точках, для которых _у = 1, пересекаются в начале координат.
848. Провести нормаль к линии у = х \ п х  параллельно прямой 
 — 2у + 3 = 0.
849. Найти расстояние от начала координат до нормали к линии 
у =  ^2лг-[-х', проведенной в точке # = 0.
850. Построить график функции у =  sin (2# — тс/З) и найти точку 
пересечения касательных к графику, проведенных в точках с абсциссой 
Х\ = 0 и Хъ = 5 тс/12.
851. Показать, что у линии у = аеЬх (а и b — постоянные) подкаса- 
тельная во всех точках имеет постоянную длину.
852. Показать, что поднормаль линии у = х  In (сх) (с — произвольная 
константа) в любой точке данной линии есть четвертая пропорциональ­
ная к абсциссе, ординате и сумме абсциссы и ординаты этой точки.
853. Показать, что любая касательная к линии
y = ~ V x  — Ах1
пересекается с осыо ординат в точке, одинаково удаленной от точки 
касания и от начала координат.
854. Показать, что касательная к эллипсу 
в точке
■М (А'о. _Уо) имеет уравнение
855. Показать, что касательная к гиперболе 
-^-=1 в точке
УН(
jc
0>
_Vo) имеет уравнение ~ г ~ ^ = = :1-
856. Доказать, что нормаль к эллипсу в любой его точке делит попо­
лам угол между фокальными радиусами (рис. 21) этой точки. Вывести 
отсюда способ построения касательной и нормали к эллипсу.
у"*
857. 
Составить 
уравнения касательных к гиперболе у — ү = 1, 
перпендикулярных к прямой 2х-\- Лу — 3 = 0 .

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   32   33   34   35   36   37   38   39   ...   146




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет