Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f



Pdf көрінісі
бет85/146
Дата06.02.2022
өлшемі9,73 Mb.
#80743
түріСборник задач
1   ...   81   82   83   84   85   86   87   88   ...   146
Байланысты:
Berman Sbornik


§ 3. СТЕПЕННЫ Е РЯДЫ 
179
2 8 3 9 . П о к а з а т ь с п р а в е д л и в о с т ь р а в е н с т в а


 


т х т ~1 
,
1 + х
1 І + л г * 1 
1 1 
+ х т
1 *•' 
I — X ’
где т  = 2” ' 1 и — 1 
х  <[ 1.
2840. Убедиться
что 
функция у = / ( х ) ,  определяемая 
рядом
Vs 
кп
х -j--хг 
-gj -р ••• " г j
j
i
Ң- ... , 
удовлетворяет соотношению 
х / = у(х-\г 1).
§ 3. Степенные ряды 
Р а з л о ж е н и е ф у н к ц п И в с т е п е нн ые р я д ы
2841. Разложить функцию д »= 1плг в ряд Тейлора в окрестности
точки х =  1 (при ЛГ0 = 1).
2842. Разложить функцию у = у гх л в ряд Тейлора в окрестности 
точки х =  I.
2843. Разложить функцию у =  1/лг в ряд Тейлора в окрестности 
точки х = 3.
~ \Г
2844. Разложить функцию ^/ = sin-^- в ряд Тейлора в окрестности 
точки х =
2
.
В задачах 2S45 — 2849 разложить данные функции в ряд Тейлора
в окрестности точки лг = 0 (ряд Маклорена):
2845. у =  ch х. 
2840. у = х~ех. 
2847. у =  cos  -[- а).
2848. у — ех біплг. 
2849. у  = cos лг ch лг.
В задачах 2850 — 2854 найти первые пять членов ряда Тейлора 
для данных функций в окрестности точки лг = 0.
2850. _y = ln (1 -f- с'). 
2851. y = ezosx. 
2852. _у = cos" л\
2853. у =  — 1п cos л*. 
2854. у = ( 1 - f.v )v.
В задачах 2855 — 2868 разложить данные функции в окрестности 
точки лг = 0, пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена функ­
ций ех, sin х, cosx, 1п (1 -j-х) и (1 —
j— лг)т .
[ (,х - 1
J ------ ------—
при х  — 0,
2 8 5 5 . y = e ix. 
2 8 5 0 . 
у = е
г
*
2 8 5 7 . у
\
( ех* _
с~ х3
2 8 5 8 . у —  J
2х* 
п р и х ^
0 ’ 
2 8 5 9 . y = s i n ~ .
I

п р и х = 0.
!
sin х
-
j
. п
х  
п р и .V 
7
-
1 п р и л' = 0.
2 8 6 2 . у =  (лг — t g лг) c o s лг.
2 8 6 3 . у =  1 и ( 1 0 -j- х ).  
2 8 6 4 . у = х  1 п (1 - f х ).
2 8 6 5 . у —
У  1 -1- л-. 
2 8 6 6 . у  =  8 — лг».
х

п р и л ' = 0.


180
ГЛ. IX. 
р я д ы
2867. у = -я/. 1 -- -
г . 2868. у. 
Л'"’
V \ + x * '

V \
X-
2874. lim
Л' 
uo

4- х
2869. Разложить в ряд Тейлора функцию у  =
s в окрестно­
сти точки х = 0. Воспользовавшись этим разложением, найти сумму
ряда 1 Ч—2—Ь" • • • 4—

2870. [ Пользуясь разложением 
функции в ряд Тейлора, найти 
значение:
X
1) седьмой производной от функции у =  утр~~5 ПРН х = 0,
2) пятой производной от функции у = Х 1У  1 —
}—
лег при лг = 0,
3) десятой производной от функции у = х*ех при х =
0
,
4) кривизны линии у  = х [•)'/Л( 1 -j-л")4 — l] в начале координат.
В задачах 2871 — 2877, пользуясь разложением функций в ряд 
Тейлора, вычислить пределы:
2871. lim -г + М > ^ - . £ ) ,
2872.
2873. lim" "M l+ .v + ^ + M I - x + .v^) _ Л ’°
х -<• 0 
А (€ 
>
х — х~ In ^ 1 -j— j . 
2875. lim 
— ctg2x j.
2876. lim 
2877. Dm ( 1 ф « 5 і _
*\
д _ 0 \'v" 
*  л'-+0 ' X )
И н т е р в а л с х о д и ы о с т и
В задачах 2878 — 2889 найти интервалы сходимости степенных 
рядов.
2S78. 1 Ох -\- 1 OOjt - j - 10пхп
2879. х — —- -j- ... + (■
— 1)ли — + •••
2880. х +
+
7+ . . .
2881. 1 -|- х
. -J- п\ х п -)-...
2882. 1 -j- 2лг2 + . . . + 2"' 
>
-{-...
2883. х 
3T3j- + ••• + (— О"*1 ,2„ _ С ш  - 1)! + • • •
2884. 1 + 3x + . . . + (я — 1) 3" ' У
-I-...
2885. ^
 + ^ L + ... + Jn^ L T ) + ...
(2v)s 
(пк)п
2886. лг -j- Ц^- -f- ... -j- 
— f- ... При исследовании сходимости
па правом конце интервала учесть, что факториалы больших чисе’л'


могут быть выражены приближенно формулой Стирлинга:
«1^ [ ~ f  1/2*7*.
2887. х  
+ . . . + (пх)п -j-...
2888. ^
 
-1- ~ ~ х'л + . . . -Н 
* я+1 Ч----
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИ М ЕН ЕН И Я РЯДОВ ТЕЙЛОРА 
1 8 1
2889
2890. 
Функцию у =  
In
{х  - |~ У I -\- х~) разложить в ряд Тейлора 
в окрестности точки х —  0, исходя из соотношения
1п (х  -j- 1 + X-) =
- ~ х
. - + * 3 
и ' 
1
и указать интервал сходимости полученного ряда.
2891. 
Функцию у =  
In 
j/~  

* разложить в ряд Тейлора в окрест­
ности точки jc = 0, исходя из соотношения
In
и указать интервал сходимости полученного ряда.
2892. Функцию у =  In [(1 
jc)1+'v] -f- In [ (1 — * ) 1_-v] разложить в ряд
Тейлора в окрестности точки х = 0 и указать интервал сходимости 
полученного ряда.
2893. Функцию _у = (1 -\-х)е~х — (1 — х)е* разложить в ряд Тейлора 
в окрестности точки л' = 0 и указать интервал сходимости полученного 
ряда. Пользуясь разложением, найти сумму ряда
а + а + ••• + '(2/1+ 1) ! + —

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   81   82   83   84   85   86   87   88   ...   146




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет