Сборник задач по операционному исчислению возник на основе опыта

 

10.3.  

y

y

( )

4

1

- ¢¢ =

,  

y

y

y

y

( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

0

= ¢

= ¢¢

= ¢¢¢

=

 

 

Вариант 11. 

1.1.  

¢¢ + =

y

y

x

sin 2

,  

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

11.2.  

¢¢ +

¢ + =

y

y

y

x

2

2

,  

y

y

( )

,

( )

0

1

0

0

=

¢

=

 

 

11.3.  

¢¢¢ + =

y

y

0

,  

y

y

y

( )

,

( )

,

( )

0

0

0

1

0

2

=

¢

= -

¢¢

=

 

 

Вариант 12. 

12.1.  

¢¢ + =

y

y

x

cos

,  

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

12.2.  

¢¢ +

¢ +

=

y

y

y

2

5

3

,  

y

y

( )

,

( )

0

1

0

0

=

¢

=

 

 

12.3.  

¢¢¢ + ¢ =

y

y

ex

,  

y

y

y

( )

,

( )

,

( )

0

0

0

2

0

0

=

¢

=

¢¢

=

 

 

 

 

Вариант 13. 

 

 

13.1.  

¢¢ + =

+

y

y

x

x

cos

sin 2

,  

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

13.2.  

¢¢ +

¢ +

=

y

y

y

2

2

1

,   

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

13.3.  

¢¢¢ + ¢¢ =

y

y

x

cos

,  

y

y

y

( )

, ( )

( )

0

2

0

0

0

= -

¢

= ¢¢

=

 

 

Вариант 14. 

14.1.  

¢¢ + =

+

y

y

ex

2

,  

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

14.2.  

¢¢ +

=

y

y

x

4

,  

y

y

( )

,

( )

0

1

0

0

=

¢

=

 

 

14.3.  

y

y

x

( )

cos

4 - ¢¢ =

,  

y

y

y

y

( )

, ( )

,

( )

( )

0

0

0

1

0

0

0

=

¢

= -

¢¢

= ¢¢¢

=

 

 

Вариант 15. 

15.1.  

¢¢ -

=

y

y

e x

4

4 2

,  

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

15.2.  

¢¢ + =

y

y 1

,  

y

y

( )

,

( )

0

1

0

0

= -

¢

=

 

 

15.3.  

¢¢¢ + ¢ =

y

y

x

cos

,   

y

y

y

( )

, ( )

,

( )

0

0

0

2

0

0

=

¢

= -

¢¢

=

 

 

Вариант 16. 

16.1.  

¢¢ -

¢ +

= -

y

y

y

e x

3

2

,  

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

16.2.  

¢¢ -

¢ +

= -

y

y

y

x

2

5

1

,  

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

16.3.  

¢¢¢ + =

y

y

ex

,  

y

y

y

( )

, ( )

,

( )

0

0

0

2

0

0

=

¢

=

¢¢

=

 

 

Вариант 17. 

17.1.  

¢¢ + ¢ =

y

y

x

cos

,   

y

y

( )

,

( )

0

2

0

0

=

¢

=

 

 

17.2.  

¢¢ +

=

y

y

x

x

4

2

3

cos cos

,  

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

17.3.  

¢¢¢ -

¢¢ + ¢ =

y

y

y

2

4

,   

y

y

y

( )

,

( )

,

( )

0

1

0

2

0

2

=

¢

=

¢¢

= -

 

 

Вариант 18. 

18.1.  

¢¢ - ¢ =

y

y

xex

,  

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

18.2.  

¢¢ + ¢ =

y

y

x

4

2

sin

,  

y

y

( )

,

( )

0

0

0

1

=

¢

= -

 

 

18.3. 

¢¢¢ + =

y

y

x ex

1

2

2

,  

y

y

y

( )

( )

( )

0

0

0

0

= ¢

= ¢¢

=

 

 

Вариант 19. 

19.1.  

¢¢ +

¢ + =

y

y

y

x

2

,   

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

19.2.  

¢¢ + =

+

y

y

xe x

x

4 sin

,  

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

19.3.  

¢¢¢ +

¢¢ +

¢ +

= + +

y

y

y

y

x

x

6

11

6

1

2

,  

y

y

y

( )

( )

( )

0

0

0

0

= ¢

= ¢¢

=

 

 

Вариант 20. 

20.1. 

¢¢ - ¢ + = -

y

y

y

e x

,   

y

y

( )

,

( )

0

0

0

1

=

¢

=

 

 

20.2. 

¢¢ - ¢ =

y

y

x2

,   

y

y

( )

,

( )

0

0

0

1

=

¢

=

 

 

20.3. 

¢¢¢ +

¢¢ +

¢ + =

y

y

y

y

3

3

1

,   

y

y

y

( )

( )

( )

0

0

0

0

= ¢

= ¢¢

=

 

 

Вариант 21. 

21.1.  

¢¢ - =

y

y

x

sin

,  

y

y

( )

,

( )

0

1

0

0

= -

¢

=

 

 

21.2.   

¢¢ -

¢ +

=

y

y

y

ex

3

2

,  

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

21.3.  

¢¢ + ¢ + =

y

y

y

xex

,   

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

Вариант 22. 

22.1.  

¢¢ + =

y

y

x

2sin

,  

y

y

( )

,

( )

0

1

0

1

=

¢

=

 

 

22.2.  

¢¢ + =

y

y

x

x

cos2

,   

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

22.3.  

y

y

x

( )

cos

4 + ¢¢¢ =

,   

y

y

y

y

( )

( )

( )

,

( )

0

0

0

0

0

= ¢

= ¢¢

=

¢¢¢

= g

 

 

 Вариант 23. 

23.1.  

¢¢ -

¢ + = -

y

y

y

x

x

2

sin

,  

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

23.2.  

¢¢ +

=

y

y

x

4

sin

,  

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

23.3.  

y

y

y

y

( )

4

5

10

6

0

-

¢¢ +

¢ -

=

,  

y

y

y

y

( )

,

( )

,

( )

,

( )

0

1

0

0

0

6

0

14

=

¢

=

¢¢

=

¢¢¢

= -

 

 

Вариант 24. 

24.1.  

¢¢ +

¢ + =

y

y

y

x

2

2

2

cos

,  

y

y

( )

( )

0

0

0

= ¢

=

 

 

24.2.  

¢¢ - ¢ =

y

y

xex

,  

y

y

( )

, ( )

0

1

0

0

=

¢

=

 

 

24.3. 

¢¢¢ +

¢¢ -

=

y

y

y

3

4

0

,  

y

y

y

( )

( )

,

( )

0

0

0

0

2

= ¢

=

¢¢

=

 

 

Вариант 25. 

25.1.  

¢ +

=

y

ay

b

,  

y( )

0

0

=

 

25.2.  

¢¢ -

=

×

y

y

x

x

4

3

2

1

2

sin

sin

,  

y

y

( )

, ( )

0

1

0

0

=

¢

=

 

25.3.  

¢¢¢ + =

y

y 1

,  

y

y

y

( )

( )

( )

0

0

0

0

= ¢

= ¢¢

=

 

 

17.  Ответы  для  индивидуальных  заданий  по  теме  «Решение  обыкновенных  линейных 

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом» 

 

Вариант 1 

1.1. 

y x

Be

x

x

A

B e

x

x

( )

cos

(

)

sin

=

-

+

+

-

    

1.2. 

(

)

y x

e x

e

x

x

( )

=

+ -

-

1

4

3 2

2

4

 

1.3.  y x

x

x

x

x

x

( )

(

cos

(

) sin )

= -

+

-

24

3

2

3

 

Вариант 2 

2.1.  y x

Ae

x

B

A xe

x

( )

(

)

=

+

-

3

3

3

    

 

2.2. 

y x

x

x

( )

sin

=

+

2

2

    

2.3.  y x

e

x

x

x

( )

cos

sin

=

+

-

-

2

4

2

5

 

Вариант 3 

3.1. 

y x

e

x

e

x

( )

(

)

=

-

+

-

1

15

12

2

8

3

5

     

 3.2.

y x

x

x

x

( )

sin

sin

=

+

2

2

2

2

 

3.3.  y x

e

x

e

x

e

x

x

x

( )

(

)

=

-

+

-

+

+

-

1

16

32

15

2

5

2

4

2

8

22

 

Вариант 4 

4.1. 

y x

x

e

x

e

x

( )

(

)

=

- +

-

-

1

27

3

6

7

3

3

 

4.2.  y x

x

x

x

( )

( sin

cos

sin

)

=

+

-

1

3

4

12

2

2

2

 

 

4.3. 

y x

x

x

( )

sin

=

-

 

Вариант 5 

5.1.  y x

shx

xe

x

( )

(

)

=

-

-

1

2

5

 

5.2.  y x

e

x

x

x

x

x

x

x

( )

cos

sin

sin

cos

=

-

-

+

-

-

2

25

2

2

25

14

25

1

5

2

5

 

5.3.  y x

e

x

x

x

x

( )

(cos

sin )

=

-

- +

+

1

2

1

1

2

 

Вариант 6 

6..1. 

y x

e

x

x

( )

=

-

3

2

 

6.2. 

y x

e

x

xe

x

x

( )

(

cos )

=

-

-

-

-

1

2

 

6.3.  

y x

x

x

x

( )

cos

sin

=

- +

-

1

2

2

1

 

Вариант 7 

7.1.  

y x

x

x

x

x

( )

cos

sin

=

- +

+

-

2

2

2

6

4

 

7.2.  

y x

x e

x

xe

x

( )

=

+

1

2

2

 

7.3.  y x

e

x

x

e

x

x

( )

sin

cos

=

-

-

-

-

3

5

2

4

5

2

1

5

 

Вариант 8 

8.1.  

y x

xe

x

( )

=

+

4

2

 

8.2.  

y x

e

x

x

x

( )

(

cos

sin )

=

+

-

-

+

2

1

2

 

8.3.  

y x

x

x

x

e

x

( )

=

-

+

- +

-

1

6

3

1

2

2

2

4

 

Вариант 9 

9.1.  

y x

e

x

( )

=

 

9.2.  

y x

e

x

x

e

x

x

( )

(

cos

sin )

=

-

+

1

2

1

 

9.3.  

y x

x

e

x

x

x

( )

(

cos

sin )

=

+

-

+

-

2

1

2

 

Вариант 10 

10.1.  

y x

x

( )

=

3

 

10.2.  

y x

x

x

x

x

( )

sin

cos

sin

=

-

+

1

2

 

10.3.  

y x

chx

x

( )

=

-

-

1

2

2

1

 

Вариант 11 

11.1.  

y x

x

x

( )

( sin

sin

)

=

-

1

3

2

2

 

11.2.  y x

x

x

e

x

xe

x

( )

=

-

+ -

-

-

-

2

4

6

5

 

11.3. 

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

+

-

=

x

x

x

e

x

e

x

y

2

3

cos

2

3

sin

3

3

2

)

(

                             

Вариант 12 

12.1.  

y x

x

x

( )

sin

=

1

2

 

12.2.  

y x

e

x

x

e

x

x

( )

cos

sin

=

+

-

+

-

3

5

2

5

2

1

5

2

 

12.3.  

y x

e

x

x

x

( )

sin

cos

=

+

+

-

1

2

3

2

1

2

1

 

Вариант 13 

13.1.  

y x

x

x

x

x

( )

(

sin

sin

sin

)

=

+

-

1

6

3

4

2

2

 

13.2.  

y x

e

x

x

e

x

x

( )

(

cos

sin )

=

-

-

-

-

1

2

1

 

13.3.  y x

x

x

e

x

( )

(sin

cos

)

= - -

+

+

-

1

1

2

 

Вариант 14 

14.1.  

y x

x

x

e

x

( )

(sin

cos

)

=

-

+

-

+

1

2

5

4

 

14.2.  

y x

x

x

x

( )

cos

sin

)

=

+

-

1

4

2

1

8

2

 

14.3.  

y x

x

chx

x

( )

(cos

)

=

+

-

-

1

2

1

 

Вариант 15 

15.1.  

y x

xe

x

sh x

( )

=

-

2

1

2

2

 

15.2.  

y x

x

( )

cos

= -

1

2

 

15.3.  

y x

x

x

x

( )

sin

cos

= -

-

3

2

1

2

 

Вариант 16 

16.1.  

y x

e

x

e

x

e

x

( )

(

)

=

-

-

+

1

6

3

2

2

 

16.2.  

y x

x

e

x

x

e

x

x

( )

cos

sin

=

-

-

+

3

25

5

3

25

2

4

25

2

 

16.3.  y x

e

x

e

x

e

x

x

e

x

x

( )

cos

sin

=

-

-

+

+

1

2

5

6

1

3

2

3

2

1

3

2

3

2

 

Вариант 17 

17.1.  

y x

e

x

x

x

( )

(sin

cos )

=

+

-

5

2

1

2

 

17.2.  

y x

x

x

x

x

( )

sin

(cos

cos

)

=

+

-

4

2

1

12

2

4

 

17.3.  

y x

x

e

x

( )

=

+ -

4

3

2

 

Вариант 18 

18.1.  

y x

e

x

x

x

( )

(

)

=

-

+

-

1

1

2

2

1

 

18.2.  

y x

x

e

x

x

x

e

x

( )

(sin

cos

)

=

- +

-

+

-

+

-

2

3

3

1

5

2

2

2

2

 

18.3. 

y x

e

x

x

x

e

x

e

x

x

x

( )

(

)

(

sin

cos

)

=

-

+

-

-

+

-

1

4

2

3

3

2

1

24

1

3

2

3

3

2

3

2

 

Вариант 19 

19.1.  

y x

e

x

xe

x

x

( )

=

-

+

-

+

-

2

2

 

19.2.  

y x

xe

x

e

x

x

x

x

x

( )

cos

sin

cos

=

-

+

+

-

2

2

 

19.3.  y x

x

e

x

e

x

e

x

( )

=

-

+

-

-

+

-

-

-

1

6

2

4

9

35

64

1

2

2

4

27

3

 

Вариант 20 

20.1. 

y x

e

x

e

x

x

x

( )

(cos

sin

)

=

-

-

-

1

3

1

3

2

3

2

3 3

3

2

 

20.2. 

y x

e

x

x

x

x

( )

=

- -

-

-

3

3

2

2

3

3

 

20.3. 

y x

e

x

x

x

( )

(

= -

-

+

+

1

1

2

2

1)

 

 

Вариант 21 

21.1. 

y x

e

x

e

x

x

( )

sin

= -

-

-

-

1

4

3

4

1

2

 

21.2. 

y x

e

x

e

x

xe

x

( )

=

-

-

2

 

21.3. 

y x

e

x

x

e

x

x

x

( )

(

(cos

sin

)

=

-

+

-

+

1

3

1)

1

3

2

3

2

3

3

3

2

 

 

Вариант 22 

 

22.1. 

y x

x

x

x

( )

cos

sin

=

-

 

22.2. 

y x

x

x

x

x

( )

sin

sin

cos

=

-

-

4

9

2

5

9

1

3

2

 

22.3.  y x

x

x

e

x

x

x

( )

(

)

(

(

)

(cos

sin )

=

+

-

+

-

+

-

-

+

-

1

2

2

1

1)

1

2

1

2

g

g

g

g

 

Вариант 23 

23.1.  y x

x

x

xe

x

e

x

( )

cos

=

+

-

+

-

2

1

2

1

2

3

2

 

 

23.2.  y x

x

x

( )

sin

sin

=

-

1

3

1

6

2

 

23.3. 

y x

e

x

x

x

e

x

( )

(cos

sin

)

=

+

-

+

-

1

2

1

2

3

 

Вариант 24 

 

24.1. 

y x

e

x

xe

x

x

x

( )

cos

sin

= -

-

-

-

-

+

1

22

25

6

5

3

25

2

4

25

2

 

24.2. 

y x

e

x

x

x

( )

(

=

-

+

1

2

2

1)

 

24.3. 

(

)

y x

ex

x

e

x

( )

(

=

-

+

-

2

9

3

1)

2

 

Вариант 25 

25.1. 

(

)

y x

b

a

e ax

( )

=

- -

1

 

25.2. 

y x

ch x

x

x

( )

cos

cos

=

-

+

83

80

2

1

10

1

16

2

 

25.3. 

y x

e

x

e

x

x

( )

cos

= -

-

-

1

1

3

2

3

2

3

2

 

 

 

 

 

 

 

18. Литература по операционному исчислению 

 

1.  

Ван-дер  Поль  Б.,  Бремер  Х.  Операционное  исчисление  на  основе  двустороннего 

преобразования Лапласа.–М., ИЛ, 1952 

2.  

Диткин В.А., Кузнецов П.И. Справочник по операционному исчислению.–М.-Л., 1951.-256 с. 

3.  

Диткин  В.А.,  Прудников  А.П.  Интегральные преобразования  и операционное  исчисление.–

М, Физматгиз, 1961 

4.  

Диткин  В.А.,  Прудников  А.П.  Интегральные преобразования  и операционное  исчисление.–

М, Физматгиз, 1974.-542 с. 

5.  

Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.–М., ИЛ, 1948 

6.  

Кожевников Н.И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. 

Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.–М., Наука, 1964 

7.  

Краснов  М.Л.,  Макаренко  Г.И.  Операционное  исчисление.  Устойчивость  движения.–М., 

Наука, 1964.-103 с. 

8.  

Краснов  М.Л.,  Киселев  А.И.,  Макаренко  Г.И.  Функции  комплексного  переменного, 

операционное исчисление, теория устойчивости. Задачи и упражнения.–М., 1971.-255 с. 

9.  

Микусинский Я. Операторное исчисление.–М., ИЛ, 1956 

10. 

Римский-Корсаков Б.С. Операционное исчисление.–М., 1960 

11. 

Романовский  П.И.  Ряды  Фурье.  Теория  поля.  Аналитические  и  специальные  функции. 

Преобразования Лапласа.–М., Наука, 1980.-336 с. 

12. 

Шахно  К.У.  Элементы  теории  функций  комплексной  переменной  и  операционного 

исчисления. Уч.пособие.–Л., изд. СЗПИ, 1961 

13. 

Шелковников Л.А., Такайшвили К.Г. Сборник упражнений по операционному исчислению.–

М., Высшая школа, 1961.-154 с. 

14. 

Шостак Р.Я. Операционное исчисление.–М., 1968.-192 с. 

 

 

19. Вопросы  для собеседования   или тестирования 

 

 

1. Сформулировать теорему об интегрировании оригиналов  

2. Сформулируйте теорему о дифференцировании изображения. 

         3. Напишите теорему об интегрировании изображения. 

         4. Какое изображение имеет оригинал  

)

4

( t

f

, если 

)

(

)

(

p

F

t

f

¬

? 

        5. Напишите теорему умножения изображений. 

        6. Напишите теорему об изображении периодических оригиналов. 

        7. Формула для дифференцирования оригиналов  

...

)

(

)

(

¬

t

f

n

 

        8. Какое изображение имеет оригинал  

÷

ø

ö

ç

è

æ

4

t

f

, если 

)

(

)

(

p

F

t

f

¬

? 

        9. Формула для дифференцирования оригиналов  

...

)

(

)

(

¬

t

f

IV

 

       10. Сформулируйте теорему запаздывания.